《四川博睿特外国语学校九级数学上册第22章一元二次方程学案新华东师大 1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川博睿特外国语学校九级数学上册第22章一元二次方程学案新华东师大 1.doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一元二次方程引入：问题1、绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间安排面积900平方米的一块长主形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽和为多少米？ 设长为x米，得： x2+10x-900=0 问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册。求这两年的平均增长率？ 设每年的平均增长率为x，得： 5 x2+10x-2.2=0一、整式方程：方程两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。二、一元二次方程：只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。三、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，其中a叫二次项系数，b叫做一次项系数，c叫
2、常数项。例1、把下列方程化成一般形式，并指出二次项、一次项系数及常数项。 （1）2x2+1=3x （2）2+3x=7x2 （3）3(2x2-1)=(x-)(x+)+3x+5例2、判断下列各方程是不是一元二次方程？ （1）2x+1=0 （2）y2+x=1 （3）x2+1=0 （4）+x2=1例3、若x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程。求a、b的值。四、一元二次方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。例4、（1）关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2，则a为 。（2）已知a是方程x2-x-1=0的根，求-a3+2a2+2008的值。（
3、3）已知a是方程x2+x-=0的根，求的值。例5、已知的方程（a-）xa-1+(a-3)x-1=0。（1）当a为何值时，它是一元二次方程？（2）当a为何值时，它是一元一次方程？22.2一元二次方程的解法：例：解方程：x2+1=2 x2-7x+12=0一、解一元二次方程的基本思路：降次。二、一元二次方程的解法：例：解方程：x2+1=21、直接开平方法：（1）定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。例1、解下列方程：（1）x2-2=0 （2）16x2-25=0 （3）(x-2)2=9（4）(2x-1)2-4=0 （5）(2x+3)2-81=0 （6）(2x-1)2
4、=(3-x)2（2）适用直接开平方法解的一元二次方程的类型：x2=a(a0) (x+a)2=b(b0) (ax+b)2=c(c) (ax+b)2=(cx+d)2(a+c0)例2、解方程： （1）(x+1)2-4=0 （2）(2-x)2-9=0试一试：不用直接开平方法解方程：x2-1=02、因式分解法：（1）定义：利用因式分解求解一元二次方程的方法。（2）根据：两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零。即：ab=0，则a=0或b=0例3、解下列方程： （1）2x2+2x=0 （2）x2=3x （3）x2-9=0 （4）x2+2x= -1（5）x(3x+2)-6(3x+2)=0 （6）x
5、2-6x-16=0 （7）2x2-5x-7=0例4、解下列方程： （1）3x2+5x-2=0 （2）x2+(1+2)x+3+=0 （3）2x2-x-=0例5、（1）三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是 。（2）已知x2-4x+y2-6y+13=0。求x2+y2的值。试一试：解方程：x2+4x=73、配方法：（1）定义：一个形如的ax2+bx=c（a0）方程，可以通过加一次项系数的一半的平方的方法将方程的左边配成一个二项式的完全平方式，再利用直接开平方法解。例6、用配方法解下列各方程：（1）x2+2x=5 （2）x2-4x+3=0 （3）x2-
6、2x-2=0 （4）x2-6x-7=0（5）x2+3x+1=0 （6）6x2-x-12=0 （7）x2-x-1=0 （8）2x2-4x-8=0（2）配方法的步聚：把常数项移到等号的另一边。把2次项系数化为1。配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方。用直接开平方法解方程。例7、（1）求证：4x2-12x+10代数式的值恒大于0。（2）已知：A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a2。求证：B-A0A与C哪个大？为什么？例8、用配方法解方程：（1）4x2-12x-1=0 （2）3x2+2x-3=0 （3）x2+px+q=04、公式法：ax2+bx+c=0(a0)x2+x= -(
7、x+)2= -+(x+)2=若b2-4ac0x+=x= -例9、用公式法解下列方程： （1）x2-x-1=0 （2）x2+4x-1=0 （3）x2+2x-2=0 （4）2x2-3x-5=0例10、用公式法解下列方程： （1）2x2+x-6=0 （2）x2+4x=2 （3）5x2-4x-12=0 （5）4x2+4x+10=1-8x例11、用适当的方法解下列各方程： （1）4(x-3)2=8 （2）x2-2x-3=0 （3）x2-6x+8 （4）x2-2x=1（5）x2-3x+1=0 （6）(x-1)2=0 （7）x2-3x=0 （8）x2-2x=4三、一元二次方程的根的判别：试一试：解下列方程：
8、 （1）x2-2x-3=0 （2）x2-2x= -1（3）x2+7=2x探究：ax2+bx+c=0(a0)(x+)2=1、一元二次方程的解的情况：当b2-4ac0时，方程有两不等实根。x1= x2 =当b2-4ac=0时，方程有两相等实根。x1= x2= -当b2-4ac0方程有两不相等实根。（2）=0方程有两相等实根。（3）0方程无实根。例12、不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）2x2+3x-4=0 （2）16y2+9=24y （3）5(x2+1)-7x=0例13、（1）m取什么数时，方程x2+(m+2)x+m2=4。有相等的两实根。有两个相等的实根。无实根。 （2）关于x的方程2k
9、x2+(8k+1)x+8k=0有两个不相等的实根。求k的取值范围。（3）求证：方程(1+m2)x2+2m+m2+4=0没有实数根。（4）已知：a、b、c为三角形的三边长。求证：方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实根。四、可化为一元二次方程的分式方程的解法：1、基本思路：分式方程整式化（去分母）。2、步聚：（1）去分母。（2）解整式方程。（3）检验。例15、解下列方程： （1）+=1 （2）-+2=0（3）-+2=0 （4）x2+x+=4五、一元二次方程的应用：例15、学校生物小组有一块长32米，宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道
10、，要使种植面积为540米2。小道的宽应是多少？例16、某药品经过两次降价，每瓶的零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同。求每次降价的百分率？ABCDPQ例17、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，市场每天可多售2件，若要使商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价为多少元？例18、如图，A、B、C、D为矩形四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动。（
11、1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q两点的距离是10cm?22.3实践与探索：一、问题1：小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。 （1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？折合成的长方体底面积（）81644936251694剪去的正方形边长（cm）折合成的长方体侧面积（cm2）二、问题2、阳江市政
12、府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？三、列方程解应用题：1、数字问题：通常间接设未知数。例1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736。求这两位数？2、几何图形问题。3、平均增长率问题。4、浓度问题。例2、容器盛满纯酒精50升，第一次倒出一部份纯酒精后有水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器里的容液含纯酒精32升。求每次倒出溶液的升数？5、实际应用问题。四、一元二次方程的根与系数的关系：试一试：解下列方程，并探究方程的解与方程系数的关系？（1）x2
13、+3x-4=0 （2）x2-4x=0 （3）2x2-3x+1=0ax2+bx+c=0(a0)x1= x2 =x1+ x2= - x1x2=1、若x1、x2是方程的ax2+bx+c=0(a0)两根，则： x1+ x2= - x1x2=2、若x1、x2是方程的x2+px+q=0两根，则： x1+ x2= -p x1x2=q例3、若、是2x2+3x-1=0的两根，求下列各式的值。 （1）2+2 （2）+ （2）2 +2 （3）+ （4）3+3 （5）- （6）4+4例4、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数要x1、x2。（1）求k的取值范围。（2）是否存在实数k，使方程的两实数根相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。例5、已知关于x的一元二次方程x2+kx-1=0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根。（2）设方程的两根分别为x1、x2。且满足x1+x2=x1x2。求k的值。例6、（1）设a、b是方程x2+x-1=0的两根，则a4-3b= 。（2）已知方程x2+kx+6=0的两实根是x1、x2。同时方程x2-kx+6=0的两根是x1
