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1、你能证明它们吗(2)课 题 你能证明它们吗(二)教学目标 (一)教学知识点 1探索发现猜想证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的要求和步骤，体会证明的必要性 2体会反证法的含义 3由特殊结论归纳出一般结论 (二)能力训练要求 1经历“探索发现猜想证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，进一步体会证明的必要性 2引导学生领会归纳的思想方法、类比的思想方法、反证法的思想方法并运用在问题的解决过程中 3培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力 (三)情感与价值观要求 1鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲 2体验数学活动中的探索与创造，感受
2、数学的严谨性教学重点 1经历“探索发现猜想证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论 2结合实例体会反证法的含义教学难点 1由一般结论归纳出特殊结论 2探求证明思路，特别是反证法的思路含义教学方法 探索发现猜想证明教具准备 投影片 第一张：议一议(记作 112 A) 第二张；想一想(记作 112 B)教学过程 I提出问题，引入新课 师上节课我们以公理和已证明的定理为基础证明了在七年级直观探索出的等腰三角形的性质，下面我们再来看一个问题： 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗? 经历“探索发现猜想证明”的过程，
3、进一步体会证明的必要性 师请同学们在自己的练习本上作出图形，观察或度量去发现相等的线段 生我作出了等腰三角形两个底角的平分线，观察可以发现它们是相等的 生观察发现等腰三角形腰上的高也是相等的，腰上的中线也是相等的 师很好，同学们在作图的过程中，观察得出一个结论：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等，但我们知道观察或度量是不够的，感觉不可靠，这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等 首先我们需根据上面的命题规范地用几何符号语言写出已知、求证，并画出相应的图形 师生共析已知
4、：如图，在ABC中，ABAC，BD、CE是ABC的角平分线 求证：BDCE 分析：要证BDCE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等 证明：ABAC， ABCACB(等边对等角) 1ABC，2ACB， 12 在BDC和CEB中， ACB=ABC,BCCB，12， BDCCEB(ASA) BDCE(全等三角形的对应边相等) 生老师，还可以证ABDACE，也可得到BDCE 师这位同学别具匠心，能大胆地提出不同的证明思路，值得表扬请同学们一起思考，证明ABDACE 生证明：AB=AC， ABCACB 又3ABC，4ACB， 3=4 在ABD和ACE中， 34，ABAC，AA， ABDACE(ASA
5、) BDCE(全等三角形的对应边相等) 师刚才我们用几何符号语言正确、规范地证明了观察得到的一个结论，下面请同学们自己证明其余的两个结论完成后与同伴交流，(教师要注意学生能否用规范的数学语言来表达，注意个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导，同时鼓励学生用多种方法寻找证明思路) 生A证明：等腰三角形两腰上的高相等 已知：如图，在ABC中，ABAC，BE、CF分别是ABC的高 求证：BECF 证明：ABAC， ABCACB(等边对等角) 又BE、CF分别是ABC的高， BFCCEB90 在BFC和CEB中， ABCACB，BFCCEB，BCCB， BFCCEB(AAS) BECF(全等三
6、角形的对应边相等) 生B证明：等腰三角形两腰上的中线相等 已知：D图，在ABC中，ABAC，BD、CE分别是两腰上的中线 求证：BDCE 证明：ABAC， ABCACB(等边对等角) 又CDAC，BEAB，CDBE 在BEC和CDB中， BECD，ABC=ACB，BCCB， BECCDB(SAS) BDCE(全等三角形的对应边相等) 师)刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示? 生我们发现并证明了的是把腰二等份的线段相等，把底角二等份的线段相等，如果是三等份、四等份结果如何呢? 师这位同学用类比的方法
7、联想到了将腰或底角三等份、四等份的线段相等，很了不起，下面我们一起来看议一议中的第1问 (出示投影片 112 A)与同伴交流自己的想法议一议1.在课本图1-4的等腰三角形ABC中， (1)如果ABDABC，ACEACB，那么BDCE吗?如果ABDABC，ACEACB呢?由此，你能得到一个什么结论? (2)如果ADAC，AE=AB，那么BDCE吗?如果ADAC，AEAB呢?由此你得到什么结论?2前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 生在等腰三角形ABC中，如果ABDABC，ACEACB，那么BDCE这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似证明如下
8、： ABAC， ABCACB(等边对等角) 又ABDABC，ACE=ACB， ABDACE 在BDC和CEB中， ABDACE，BCCB，ACBABC， BDCCEB(ASA) BDCE(全等三角形的对应边相等) 生如果在ABC中，ABAC， ABDABC，ACEACB，那么BDCE也是成立的，因为ABAC，所以ABCACB，利用等量代换便可得到ABDACE，BDC与CEB全等的条件就能满足，也就能得到BDCE，由此我们可以发现： 在ABC中，ABAC，ABDABC，ACEACB，就一定有BDCE成立 生也可以更直接地说：在ABC中，ABAC，ABDACE，那么BDCE 师这两位同学都由特殊结
9、论猜想出了一般结论，请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来，(教师可巡视指导) 下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言， 生在ABC中，ABAC，如果ADAC，AEAB，那么BDCE；如果ADAC，AEAB，那么BDCE由此我们得到了一个更一般的结论：在ABC中，ABAC，ADAC，AEAB，那么BDCE证明如下： ABAC， 又ADAC，AEAB， ADAE 在ADB和AEC中， ABAC，AA，ADAE， ADBAEC(SAS) BDCE(全等三角形的对应边相等) 生一般结论也可更简洁地叙述为：在ABC中，如果ABAC，ADAE，那么BDCE 师这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般
10、的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果，例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组，这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的 我们由特殊结论归纳总结出了一般结论，这是获得数学结论的一条途径，如果我们在学习中养成“反过来”思考问题的习惯和意识，也是获得数学结论的一条途径，例如“等边对等角”，反过来成立吗?我们来看“议一议”中的第2题 生如图，在ABC中，BC，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了 师你是如何想到的? 生由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作B
11、C上的高，都可以把ABC分成两个全等的三角形 师很好同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论 生我们组发现，如果作BC的中线，虽然把ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等，因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的，后两种方法是可行的 师那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评) (证明略) 师我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，这一定理可以简单叙述为：等角对等边，我们不仅发
12、现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美 我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”(出示投影片112 B) 想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 生我认为这个结论是成立的，因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等，但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的 师的确如此，像这种从正面入手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢? 我们来看一位同学的想法： 如上图，在ABC中，已知BC，此时AB与AC要么相等，要么不相等假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得CB，但已知条件是BC“C=B”与已知条件“BC”相矛盾，因此ABAC 你能理解他的推理过程吗? 再例如，我们要证明ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设A90，B90，可得A+B180，但ABC中A+B+C180“A+B180”与“A+B+C1
