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1、(时间:120分钟;满分:160分)一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分请把答案填在题中横线上)1下面几种推理是合情推理的序号的是_由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180;某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得凸多边形内角和是(n2)180.解析:是类比推理,是归纳推理,都属于合情推理答案:2观察下列式子:1,1,1,则可归纳出_解析:利用归纳推理,不等号左边的最后一项的分母的算术平方根与右边的分母相同,而右
2、边的分子则为奇数答案:10,2(abbcca)0.答案:负10在ABC中,不等式成立,在四边形ABCD中,不等式成立,在五边形ABCDE中,不等式成立,猜想在n边形A1A2An中,不等式_成立解析:由已知特殊数值:,总结归纳出一般规律:(n3,且nN*)答案:(n3,且nN*)11平面上原有k个圆,它们相交所成圆弧共有f(k)段,若增加第k1个圆与前k个圆均有两个交点,且不过前k个圆的交点,试问前k个圆的圆弧增加_段解析:增加的第k1个圆与前k个圆中的每一个均有两个交点,这两个交点中的每个点都将原来的一段圆弧分为两段,因此每个圆都要增加两段圆弧由分析可知,k个圆共增加的圆弧数为2k段答案:2k
3、12在集合a,b,c,d上定义两种运算和如下:abcdaabcdbbbbbccbcbddbbdabcdaaaaababcdcaccadadad那么d(ac)_.解析:由所给运算知acc,因此dca.答案:a13.如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4),若k,则h12h23h34h4.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4),若K,则H12H23H34H4_.解析:因为V(S1H1S2H2S3H3S
4、4H4),K,所以V(KH12KH23KH34KH4),所以H12H23H34H4.答案:14有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件模糊不清,具体如下:“在ABC中,已知a,B,_,求边b”若破损处的条件为三角形的一个内角的大小,且答案显示b,则在横线上补充完整的条件为_解析:,sinAsinB.Abc,且abc0,则bc,a0,c0.要证成立,只需证a,即证b2ac3a2,只需证(ac)2ac0,ac0,2ac(ac)aab0,(ac)(2ac)0成立,故原不等式成立18(本小题满分16分)已知:f(x)x2pxq.求证:(1)f(1)f(3)2f(2)2;(2)|f(1)|,|f(2)
5、|,|f(3)|中至少有一个不小于.证明:(1)f(1)f(3)2f(2)1pq93pq2(42pq)2.(2)反证法:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,那么2|f(1)f(3)2f(2)|f(1)|f(3)|2|f(2)|2),问ABC为何种三角形?为什么?解:令n3,a1,b1,则c1.26,易观察知ABC为锐角三角形上述特殊值试验的结论具有一般性,下面证明:因为cnanbn(n2),所以ca,cb,即c是ABC的最大边所以要证ABC是锐角三角形,只需证角C为锐角,即证cos C0.因为cos C,故只需证a2b2c2. 再注意条件anbncn,于是将等价变形为(a2b2
6、)cn2cn(n2) 因为ca,cb,n2,所以cn2an2,cn2bn2,即cn2an20,cn2bn20.从而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0,这说明式成立故cos C0,C是锐角,ABC为锐角三角形20(本小题满分16分)设函数f(x),g(x)xcos xsin x.(1)求证:当x(0,)时,g(x)0;(2)若存在x(0,),使得f(x)a成立,求a的取值范围解:(1)证明:g(x)cosxxsinxcosxxsinxx(0,),g(x)0,g(x)在(0,)上单调递减又g(0)0,当x(0,)时,g(x)g(0)0.(2)f(x)1,f(x).由(1)知,当x(0,)时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递减则当x(0,)时,当x0时,1,f(x)2,由题意知,f(x)f(x)max,f(x)2,从而a2.