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1、“蚂蚁怎样走最近”的深入探索如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取3）这道题我们用了展开圆柱侧面成平面图形（长方形）的方法，如图2，求出线段AB2=AC2+BC2=122+92=144+81=225，从而得到蚂蚁爬行的最短路线是沿圆柱侧面的一段曲线AB等于15厘米 如果蚂蚁不“沿圆柱侧面爬行”，而是沿着A点竖直向上爬到C点，再沿直径CB爬到B点，即沿从ACB的路线要爬12+6=18厘米，所以这条路线比第一条路线要长探究一：假想一下，若本题中的圆柱是一个典型的
2、矮胖型圆柱，那么蚂蚁爬哪条路线最短呢？我们不妨计算一下,假设这个圆柱的高度为1厘米,其它条件不变，那么展开图中AB2=AC2+BC2=12+92=82，而沿第二条路线，即（ACB）2=（1+6）2=4982，所以这时蚂蚁沿由（ACB）的第二条路线最短探究二：既然瘦长型的圆柱沿曲面爬最短，矮胖型的圆柱沿第二条路线爬最短，那么我们再深入探索一下，原题中圆柱的高度变为多少厘米时(其它条件不变)，蚂蚁爬这两条路线的路程相等?解析：设圆柱的高度变为xcm,根据题意得展开图中：AB2=x2+92由(ACB) 2=(x+6) 2x2+92=(x+6) 2x2+81=x2+12x+3645=12xx=3.75
3、所以，当圆柱的高为3.75cm时，蚂蚁走这两条路线的路程相等探究三：当圆柱的底面半径r与圆柱的高度h满足怎样的关系时，（1）蚂蚁爬这两条路线一样长？（2）蚂蚁爬第一条路线最短？（3）蚂蚁爬第二条路线最短？解析：展开图中：AB2= AC2+BC2=h2+(3r)2= h2+9r2； 由(ACB) 2=(h+2r) 2（1）由两条路线一样长得h2+9r2=(h+2r) 2 h2+9r2=h 2+4hr+4r2 5r2=4hr r = h所以当半径r = h时，蚂蚁爬这两条路线一样长（2）当半径r h时，（瘦长型圆柱）蚂蚁爬第一条路线最短 （3）当半径r h时，（矮胖型圆柱）蚂蚁爬第二条路线最短通过上面的探索可以看出，学好数学不能墨守成规，生搬硬套对于同种类型的题目也要灵活分析，认真对待哟
