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1、巧用配方法解题配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法,其实质是一种恒等变形,它通过加上并且减去相同的项,把算式的某些项配成完全n次方的形式,通常是指配成完全平方式配方法的在中学数学中的应用非常广泛,主要有以下几个方面一、用配方法解方程例1 解方程:2x23x+1=0分析:用配方法解一元二次方程的一般步骤是:1将二次项的系数化为1;2移项,使含未知数的项在左边,常数项在右边;3配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;4将方程化为(x+m)2=n的形式;5用直接开平方法进行求解(n0无解)解:方程两边都除以2,得移项,得配方,得,即或所以x1=1,二、用配方法分解因式例2 把x2+4x-1
2、分解因式分析:在原式中加上4的同时又减去4解:原式=x2+4x+4-4-1=x2+4x+4-5=(x+2)2-=三、用配方法求代数式的值例3 已知实数a,b满足条件:,求ab的平方根分析:一个方程含有两个未知数,看似无法求出a,b但仔细观察发现,等式左边可以分成两组分别配方,正好得到两个完全平方式的和为0,利用非负数的性质可求出a,b的值解:,即,四、用配方法求代数式的最大(小)值例4 代数式2x2-3x-1有最大值或最小值吗?求出此值分析:代数式2x2-3x-1的值随x的变化而变化,但有某一个值可能是其最小(大)的,如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和,便可求出其最小(大)值解:2
3、x2-3x-1=2(x2-x)-1=2(x-)2+当时,有最小值0,当时,2x2-3x-1有最小值为五、用配方比较两个代数式的大小例5 对于任意史实数x,试比较两个代数式3x3-2x2-4x+1与3x3+4x+10的值的大小分析:比较两个代数式的大小,可以作差比较,本题两个代数式相减后,可以得到一个二次三项式,将此二次三项式配方后,即可判断差的正负,从而可以判断两个代数式的值的大小解:(3x2-2x2-4x+1)-(3x3+4x+10)=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-10,所以对于任意实数x,恒有3x3-2x2-4x+13x3+4x+10六、用配方法证明等式和不等式例6 已知方程中(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a,b,c都是实数求证:分析:一个方程含有四个未知数,看似无法求出a,b,c,x但仔细观察发现,方程左边可以分成两组分别配方,正好得到两个完全平方式的和为0,利用非负数的性质可求出a,b,c,x之间的关系证明:原方程坐标拆成两个二次三项式为:(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0,(ax-b)2+(bx-c)2=0a,b,c,x都是实数,(ax-b)20,(bx-c)20ax-b=0,bx-c=03