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1、 “最值问题” 集锦平面几何中的最值问题 01几何的定值与最值 07最短路线问题 14对称问题 18巧作“对称点”妙解最值题 22数学最值题的常用解法26求最值问题29有理数的一题多解344道经典题37平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率下面介绍几个简例 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质： 三角
2、形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。 运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P，连结A P，BP，在ABP中AP+BPAB，如果AP+BPAB,则P必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A，则AP AP，在ABP中AP+BPAB,当P移到AB与直线L的交点处P点时AP+BPAB，所以这时PA+PB最
3、小。1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图391)？分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R由于ABCD，必有AC=BD若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可 解 作DEAB于E，则x2=BD2=ABBE2R(R-y)2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，
4、梯形的底角恰为60和1202 .如图392是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+x=8，若窗户的最大面积为S，则把代入有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图393)？分析与解 因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB
5、，则CB是切线为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P，连PA，PB，延长AP到C，使PC=BP，连CB，CC，则PCB=PBC=PCB=45，所以A，B，C，C四点共圆，所以CCA=CBA=90，所以在ACC中，ACAC，即PA+PBPA+PB 4 如图394，在直角ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是ABD，ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L求证：SABC2SAKL 证 连结AM，BM，DM，AN，DN，CN因为在ABC中，A=90，ADBC于D，所以 ABD=DAC，ADB=ADC=90因为M，N分别是ABD和ACD的内心，所以1=2=45，3=4，所以ADNBDM，又
6、因为MDN=90=ADB，所以 MDNBDA，所以 BAD=MND由于BAD=LCD，所以 MND=LCD， 所以D，C，L，N四点共圆，所以 ALK=NDC=45同理，AKL=1=45，所以AK=AL因为 AKMADM，所以 AK=AD=AL而而从而所以 SABCSAKL5. 如图395已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q求证：PQAB证 设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQP1Q1因为AQ1P1+P1Q1C=180，所以AQ1P1和P1Q1C中至少有一个直角或钝角若AQ1P190，则 PQP1Q1AP1AB；若P1Q1C90，则 PQP1Q1P1
7、C同理，AP1C和BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设BP1C90，则 P1CBC=AB 对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQAB 6. 设ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)解 如图396，延长BA到B，使AB=AB，连BC，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与BC相交以下分两种情况讨论(1)若l与BC相交于D，则 所以 只有当lBC时，取等号 (2)若l与BC相交于D，则所以 上式只有lBC时，等号成立 7. 如图397已知直角AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相
8、切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D试求四边形ABCD面积的最小值解 设O与AB相切于E，有OE=1，从而即 AB2当AO=BO时，AB有最小值2从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特
9、殊位置与极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则CD长度的最小值为 思路点拨 如图，作CCAB于C，DDAB于D，DQCC，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=，则PB=，从代数角度探求CD的最小值 注：从特殊位置与极端位置
10、的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ） A从30到60变动 B从60到90变动C保持30不变 D保持60不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最
11、值【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=，BC=()，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值思路点拨 设AP=，把AP、BQ分别用的代数式表示，运用不等式 (当且仅当时取等号)来求最小值 【例4】 如图，已知等边ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关思路点拨 即要证AKBN是一个定值，在图形中ABC的边长是一个定值，说明AKBN与AB有关，从图知AB为ABM与ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定
12、值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例5】 已知XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(Z=90)，它的三个顶点分别在等腰RtABC(C=90)的三边上，求ABC直角边长的最大可能值思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=，CZ=，建立，的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值学力训练1如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则BB+CC+DD的最大值为 ，最小值为 2如图，AOB=45，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则PQR的周长的最小值为 3如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于
