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1、三角形三内角和欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”由罗氏公理很容易推出以下结
2、论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行”罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明图711欧氏几何罗氏几何 三角形的三内角和等于180 o三角形的三内角和小于180 o；并且不同的三角形有不同的内角和存在矩形和相似形不存在矩形和相似形两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似两个三角形的三个对应角相等，则两个三角形全等两平行线之间的距离处处相等两平行线之间的距离，沿平行线的方向越来越小欧氏几何
3、说：“三角形的三内角和等于180 o”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图712左图罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图712中间的图图712现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图712右图黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学2
