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1、第二十二章 第2节一元二次方程的解法 配方法 教材剖析 华东师大版新课程标准1、知识与技能（1）会用配方法解数字系数的一元二次方程。（2）了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。2、过程与方法（1）使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。（2）在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。（3）通过参与一元二次方程的解法的探究，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳；3、情感、态度与价值观（1）体会解决问题方法的多样性。（2）培养学生“善于提问，大胆质疑”的良好的思维品质。知识点讲解知识点一：配方法解一元二次方程时，先把方程的常数项移到方程的右边，再把它的左
2、边配成一个含有未知数的完全平方式的形式，即将方程化为的形式。如果右边是一个非负常数，这样就能可以应用因式分解或直接开平方的方法求解。这种解一元二次方程的方法就是配方法.注意：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的看作未知数，并用代替，则有。注意上式等式左边的特征：等式左边是关于的二次三项式，二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方，即。知识点二：配方法解一元二次方程的步骤（1）将方程化为一般形式；（2）方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；（3）移项：把常数项移到方程右边，使
3、方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。（4）配方：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；（5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用因式分解法或直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。注意：（1）运用配方法关键是必须在把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程的前提下，然后在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。（2）通过配方法解一元二次方程我们可以发现：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是一个正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程有两个相等的实数根；如果另一边是一个负数，那么这
4、个方程就没有实数根。典型例题讲解一、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程例1、解方程：x2+8x9=0分析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成(x+m)2=n（n0）的形式再用直接开平方法求解。解：移项，得：x2+8x=9配方，得：x2+8x+42=9+42（两边同时加上一次项系数一半的平方）即：(x+4)2=25开平方，得：x+4=5即：x+4=5，或x+4=5所以：x1=1，x2=9点拨：进行配方时，方程左右两边要同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数的符号决定了左边的完全平方式中是两数差的平方还是两数和的平方
5、。凡是二次项系数是1的一元二次方程，只有移项、配方、求解三步。二、用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程例2、解方程：3x2+8x3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。解：两边都除以3，得：x2+x1=0移项，得：x2+x = 1配方，得：x2+x+()2= 1+()2（方程两边都加上一次项系数一半的平方） (x+)2=()2即：x+=所以x1=，x2=3点拨：用配方法解一元二次方程是，化二次项系数为1是关健的第一步，在进行配方步骤时，必须方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方。三、用多种方法解一元二次方程例3、解方程9x26x10分析：对于本题，根据方程的特点，既可以用配方
6、法解，也可以用因式分解法求解。解法（一）：化二次项系数为1，得移项，得配方，得，解法（二）原方程可整理为（3x1）203x10点拨：比较上面两种方法，我们可以体会到方法（一）是通法，但有时用起来麻烦方法（二）是据方程的特点所采用的特殊的方法，较方法（一）简捷，明快由此可见我们学习不要机械死板，要在熟练掌握通法的基础上，据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养我们灵活运用的能力。易错例题讲解例1、用配方法解方程分析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方把左边配成完全平方，再用直接开平方法求解。解：移项，得配方，得即因此，原方程的解是易错点：本题左
7、边易出现的错误，在变形中易出现的错误，这些都要引起我们的重视。例2、用配方法解方程分析：此方程的二次项系数不是1，要先将二次项系数化为1后，然后再用配方法解此方程。解：移项，得方程两边同除以4，得方程左边配方，得即因此，原方程的解是易错点：本题中容易出现没有把二次项的系数化为1，就在方程两边加上一次项系数一半的平方。配方时“方程两边加上一次项系数一半的平方”，其前提是方程的二次项系数是1。中考链接命题方向：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在后面的学习中也会常常用到，因此是各地中考对数与代数部分的思想方法方面考查的一个重点内容，考查时通常以填空题或选择题的形式单
8、独出现，有时在综合题的解题过程中也有所体现。例1、（2005无锡）一元二次方程的根为（ ）A. B. C. D.分析：题目中所给出的方程可以用配方法求解。移项，得.配方，得 ，.解：B.点拨：配方法是解一元二次方程的通用方法，本题也可以用代入验证法判断。例2、（2005北京）用配方法解方程。分析：这是一个基础性题目，配方法的关键是在二次项系数为1的前提下，把常数项移到方程的左边。然后根据等式的性质，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，从而使方程的左边配成一个完全平方式，再根据平方根的定义求解。解：移项，得：配方，得： 解这个方程，得：即点拨：配方法是一种常用的数学方法，它除了用于直接解一元
9、二次方程中外，还是推导一元二次方程的求根公式、二次函数的顶点坐标的重要方法，希望同学们一定要掌握好该方法。创新例题讲解例1、用配方法证明的值恒大于零。分析：将原式化为一个数的平方与一个数的和的形式，即可以判断其值恒为正数。解：，即：的值恒大于零。点拨：通过本题要进一步了解配方法的应用，还应注意与解方程在运用时的区别。例2、小李家今天来了一位客人，小李问这位叔叔：“是你的年龄大，还是我爸爸的年龄大？”这位叔叔说：“你爸爸的年龄是你的平方数，我的年龄是你的6倍少10，你说谁的年龄大呢？”你能帮小李解答这个问题吗？分析：若设小李的年龄为岁，则小李的爸爸的年龄为岁，客人的年龄为岁，比较与的大小即可，可以利用求差法通过计算比较。解：若设小李的年龄为岁，则小李的爸爸的年龄为岁，客人的年龄为岁。，.即小李的爸爸的年龄要比这位客人的年龄大。点拨：求差法是比较两数（式）的大小的常用方法。 - 5- 第二教育网同步辅导资料
