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1、延庆县2020学年度第一学期期末考试高二数学（理科） 2020.1试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案涂在答题卡上.）1.在直角坐标系中，直线的倾斜角是. . “”是“直线平行于直线”的A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 若点为圆的弦的中点，则直线的方程是A. B. D.4. 已知命题,.若命题是假命题,则实数的取值范围是A. B. 正（主）视图侧（左）视图俯视图32
2、2232C. D. 5. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是. B.C. D.6设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则 若，则若，则 若，则其中正确命题的序号是A和 B和 C和D和7方程与且在同一坐标系中所表示的曲线可能是A B C D8已知关于面的对称点为，而关于轴对称的点为，则 B CD9.点在抛物线上，点满足恒成立，则的取值范围是. B. C. D. 10. 下列命题中真命题的个数是 若是空间任意四点，则有；在四面体中，若，则；在四面体中点，且满足.则是锐角三角形对空间任意点与不共线的三点，若（其中且），则四点共面.A B C D第卷（非选择题 共
3、100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）11. 若三点共线 则的值为_.12. 直线被曲线所截得的弦长等于 .13. 已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 14. 把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为 15. 已知，则以为邻边的平行四边形的面积为 16. 如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.（本小题满分12分）已知直线和直线的交点为
4、，分别求满足下列条件的直线方程.（）直线过点且到点和点距离相等；（）直线过点且在两坐标轴上的截距之和为.18（本小题满分10分）已知直角坐标平面上点和圆：，动点到圆的切线长与的比等于常数.求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线.19.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上，直线 交抛物线于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点（）求抛物线的方程；（）证明：抛物线在点处的切线与平行.20（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为为正方形，平面，为棱的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求四棱锥的体积21（本小题满分12分）如图直角梯形中，CBAOSyx
5、z平面，,分别以为轴、轴、轴建立直角坐标系（）求与夹角的余弦值；（）求与平面夹角的正弦值；（）求二面角22（本小题满分12分） 已知椭圆:的离心率为，两个焦点分别为和,椭圆上一点到和的距离之和为()求椭圆的方程；() 设点是椭圆 的上顶点，点是椭圆上；异于点的两点，且,求证直线经过轴上一定点延庆县2020学年度第一学期期末考试参考答案高二数学（理科） 2020.1一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）题号12345678910答案BACADACBCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 12. 13. 14. 15. 16三、解答题（本大题共6小题，共70分
6、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.（本小题满分10分）已知直线和直线的交点为，分别求满足下列条件的直线方程.（）直线过点且到点和点距离相等；（）直线过点且在两坐标轴上的截距之和为.解：（）由，解得交点坐标为，2分因为直线过点且到点和点距离相等所以直线平行与直线,或经过的中点.由已知得，的中点,且 5分直线的方程为或即或 7分（解法二：设直线的方程为，利用点到直线距离公式）（）设直线的方程为，令，得，令，得， 9分依题意，整理的，解得或.所以直线的方程为或.即或. 12分18（本小题满分10分）已知直角坐标平面上点和圆：，动点到圆的切线长与的比等于常数.求动点的轨迹方程，说明它表示
7、什么曲线.解：设直线切圆于，则动点组成的集合是：. 2分圆的半径，.4分设点的坐标为，则 6分整理得.当时，方程为，它表示过点且与轴垂直的直线；8分当时，方程化为，它表示圆心在，半径为的圆. 10分19. （本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上，直线交抛物线于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点（）求抛物线的方程.（）证明：抛物线在点处的切线与平行；解：依题意，设抛物线的方程为，xAy112MNBO（）点在抛物线上， .抛物线的方程为4分（）如图，设，把代入得.由韦达定理得. 点的坐标为(.8分设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，.即
8、. 抛物线在点处的切线与平行.12分20（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为为正方形，平面，为棱的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求四棱锥的体积（）证明：连接与相交于点，连结四边形为正方形，为中点为棱的中点 3分 平面，平面，平面 4分（）证明：平面，所以 5分四边形为正方形，所以，平面 7分平面平面 8分（）解：取中点,连结,平面平面, 平面 10分又平面，. 为等腰直角三角形, . 12分21（本小题满分12分）如图直角梯形中，CBAOSyxz平面，,分别以为轴、轴、轴建立直角坐标系（）求与夹角的余弦值；（）求与平面夹角的正弦值；（）求二面角解：如图所示：.， 与夹角的余弦值 3分（）设平面的法向量，.，即， . 6分又，求与平面夹角的正弦值为；8分（）平面，为平面的法向量.又平面的法向量.二面角的余弦值. 12分22（本小题满分12分） 已知椭圆:的离心率为，两个焦点分别为和,椭圆上一点到和的距离之和为()求椭圆的方程() 设点是椭圆 的上顶点，点是椭圆上异于点的两点，且,求证直线经过轴上一定点.解：（）设椭圆：的半焦距为，则 , 解得 , .所求椭圆的方程为：. 4分() 显然直线的斜率存在，设直线的方程为联立方程组，消去整理得.设，则， 8分，且，即.解得或 （舍去）直线直线经过轴上一定点.
