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1、初三数学寒假专题 实际问题中的二次函数关系一. 本周教学内容： 寒假专题实际问题中的二次函数关系中考课标要求 理解并掌握“通过对实际问题的分析确定二次函数表达式”。中考能力要求 （1）会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题； （2）会应用数形结合思想来解决有关的函数综合性问题。 例1. 如图，矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，在BC边上取一点P（不与B、C重合），在CD边上取一点Q，使APQ90，设BPx cm，CQy cm。 （1）试求出y与x之间的函数关系式； （2）点P在什么位置时，CQ有最大值，最大值是多少？ 分析：在背景图形中，能很容易地确定两个相似的三角形：ABPP
2、CQ，两三角形相似，就可得出对应边成比例。也就建立了x与y之间的关系，进而可求出y与x之间的函数关系式。 解：在矩形ABCD中，APQ90 则BC90 APBQPC90 QPCPQC90 故APBPQC 又因BC 所以ABPPCQ 故有 而AB6，BC8 所以 故，即y与x间为二次函数关系 因此二次函数的图象的顶点坐标为 故：当时，y有最大值为 即当点P在BC中点处时，CQ有最大值 例2. 如图，改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面1.5m，点B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线形状，喷头B与水流最高点C的连线呈45角，水流的最高点C比喷头B高出2m，在所
3、建的坐标系中，求水流的落点D到A的距离是多少m？ 分析：由题目描述结合图象，可将抛物线上的点B和顶点C的坐标求出来，（在求C点坐标时，注意解直角三角形BCF）由B、C坐标可以确定出抛物线的解析式，进而可以求出点D的坐标，最后求出D到A的距离。 解：由题意得： 故点B的坐标为（0，1.5） 过C点作CEx轴，垂足为E，过B作BFCE，垂足为F，连结CB 则CF2，CBF45 所以BFCF2 又因EFOB1.5，则EC21.53.5 顶点C的坐标为（2，3.5） 故可设抛物线解析式为 又过点B（0，1.5） 则抛物线解析式为： 令，则 解得： 则D点坐标为（） 即 例3. 一个涵洞成抛物线形（如图
4、），现测得，当水面宽AB1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m，此时，离水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否为超过1m？ 分析：由已知，建立如图坐标系，要想求出ED，只须求出FD，即只要求出点D的横坐标即可，而由已知，可确定出点D的纵坐标，故若先求出抛物线解析式，就可借此进一步求出点D的横坐标。 解：AB1.6，CO2.4 A点坐标为（-0.8，-2.4） 又抛物线顶点坐标是（0，0） 可设解析式为，因又过点A（-0.8，-2.4） 则 抛物线解析式为： 因，则 故点D坐标为（x，-0.9） 故 则，则 ，则 即离水面1.5m时，涵洞宽m，并未超过1m。 例4. 某公司推出了一种高效环保
5、型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）。 根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图像上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 分析：此题主要是识图，从图中可确定抛物线上四个点的坐标：（1，-1.5），（2，-2），（0，0）及（5，2.5），可由其中三点的坐标求出抛物线的解析式，第二问则应理解为当时，？第三问则应理解为。
6、解：（1）设，由图可得抛物线上三个点的坐标分别是（0，0），（1，-1.5）和（2，-2），则有： 解得： （2）当S30时， 解得：（不合题意，舍去） 截止到10月末，公司利润累积达到30万元 （3）当t7时，前7个月利润总额为 第t8时，前8个月利润总额为 第8个月公司利润为：（万元） 例5. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销
7、售单价为x元，日均获利y元。 （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数关系式配方成的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和单价最高这两种销售方式，哪一种获总利最多，多多少？ 分析：（1）由销售单价为x元，得每千克降低了元，日均多销售，日均销售量是，则日均获利y日均销售量每千克获利每天支出费用500。 （2）将何时取得最大利润与顶点的纵坐标联系起来，在单价定为顶点的横坐标时，日获利最多即是顶点的纵坐标。 （3）分别算出日均获利最多时的
8、利润及单价最高时的利润，然后进行比较即可。 解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低了元，则日均多销售出，此时，日均销售量为千克，每千克获利元。 由题意得： 即 （2） 抛物线顶点为（65，1950），且过点和（70，1500） 由图可知：当单价定为65元时，日均获利最多，为1950元。 （3）当日获利最多时，单价为65元，日均销售量为 则此时总获利元 当销售价最高为70元，日均销售量为60kg，要销售天 则此时总获利元 故第二种即以单价最高这种方式获利多，多出26500元。 例6. 如图一单杠高2.2m，两立柱之间距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。
9、 （1）一个身高0.7m的小孩站在立柱0.4m处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离； （2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4m的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2m，木板与地面平行，求木板到地面的距离。（供选用的数据：） 分析：（1）建立好适当的平面直角坐标系后，可由条件推出抛物线上A、B、D三点的坐标，由此得到抛物线解析式，故可得到抛物线顶点C的坐标，顶点即最低点，进而得到绳子最低点到地面的距离。 （2）作出等腰梯形的两条高后，通过解直角三角形求出梯形的高，就可得到木板到地面的距离。 解：（1）由已知可知：AB1.6，BE2.2 点D到x轴距离
10、为0.7，到y轴距离为（） 故得B（0.8，2.2），D（-0.4，0.7） 由图设抛物线解析式为： 则有 解得： 此抛物线顶点C坐标为（0，） 则绳子最低点即C点到地面的距离为米 （2）作EGAB，FHAB 由题知：，AEBF2 四边形AEFB为等腰梯形 则 则在RtAGE中，AE2，AG0.6 即木板到地面的距离为0.3m【模拟试题】 1. 已知：二次函数的图象过点（1，0），且对称轴为直线，与y轴交点到原点的距离为3，求二次函数的解析式。 2. 已知：二次函数图象的对称轴为直线，在y轴上截距是-3，且图象在x轴上截得的线段长为6，求二次函数解析式。 3. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y
11、轴交于点C（如图），若ACB90，求：m的值。 4. 已知：ABC中，C90，BC4，AC8，DEAC，DFBC，设。 （1）AE用含y的代数式表示为：AE_； （2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； （3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值。 5. 某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为获得更高的利润，决定提高售价，经实验发现，若每件20元，每月能够卖360件，若每件25元，每月卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。 （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）在商品不积压且不考虑其它因素条件下，问售
12、价定多少时，才能使每月获得最大利润？每月获得最大利润是多少？ 6. 心理学家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步加强，中间有一段时间保持较为理想的状态，随后注意力开始分散，经过实验分析，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式： （1）讲课开始后第五分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多久？ （3）一数学题，需讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过老师的适当安排，能否在学生注意力达到所需的状态下讲完这道题？ 7. 如图，边长为4的正方形ABCD
13、上，CE1，直线EF交AB的延长线于G，H为FG上一动点，HMAG，HNAD，设HMx，矩形AMHN的面积为y。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大是多少？参考答案 1. 答： 2. 答： 3. 答： 4. 答：（1）； （2）； （3）；当时，S有最大值为8。 5. 答：（1） （2）定价为24元时，每月获得最大利润1920元。 6. 答：（1）开始后25分钟时比第五分钟时更集中； （2）开始讲课10分钟时，学生的注意力最集中，能够持续10分钟； （3）学生注意力在180以上的持续时间为24.57分钟，故老师可以经过适当安排能在学生注意力达到要求的状态下讲解完这道题。 7. 答：（1） （2）当时，最大，故最大面积是12。用心 爱心 专心 119号编辑 10
