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1、ABC加强卷一 (构造全等三角形)引例:如图a,ABC中,ABAC,试作DBCABC。(1)这样的DBC可以作3个,分别用什么方法得到?第一个: ;第二个: ;第三个: 。(2)若AB=AC,则DBC可以作 个。 (a)(3)如图b,有一条线段EF=BC,试作DEFABC。 ABC这样的DEF可以作 个。EF (b)ABCxyMN例1如图c,ABC中,点A(-4,-2)、B(-1,-1)、C(-1,3),且DBCABC,则点D的坐标为 。发散:若以MN为一边,作PMNABC,则P的坐标为 。(c)例2如图d,已知ABC中,AB=BCAC,作与ABC只有一条公共边,且与ABC全等的三角形,这样的
2、三角形一共有 个。ABC(d)加强卷二 (垂直平分线)ABCPQ1如图,在ABC中,AB=AC,若A=100o,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q,则PAQ= o。2若将第1题中的条件AB=AC更改为ABAC,其余条件都不变,则PAQ= o,并请你写出解答过程。3若在第2题中设若A=o(90o180 o),则用来表示PAQ= o。ABCPQ4如图,在ABC中,ABAC,若A=o(0o90 o),AB、AC的垂直平分线分别交BC于点P、Q,则用来表示PAQ= o。 5发散:若上图中,两条垂直平分线的交点为M,连接MB、MC,请用来表示BMC= o;若上图中,APQ的周长为18,BC=12
3、,则PQ= 。 6类比学习:ABCPQ21C其实,以上求解角度都应用了数学中常见的一种思想:“整体思想”,这个思想在三角形的折叠问题中也是很常用的。 ABC中,A=80o,B=60o,将ABC沿直线PQ折叠,使点C落在ABC内部点C,若1=20o,则2= o;探究1、2、C的关系为 。,请对结论进行证明。加强卷三(内外角的平分线)1如图,点M是线段AB上任意一点,P是AM的中点,Q是BM的中点,则线段PQ与AB的关系为 。ABPMQ21OABPMQ2如图,射线OM是AOB内任意一点,OP平分AOM,OQ平分BOM,则POQ与AOB的关系是 。证明:ABPQCD3如图,在ABC中,CP平分ACB
4、,CQ平分ACD,则射线CP与射线CQ的位置关系 ,这个结论可表示为:三角形相邻的内外角平分线互相 。4拓展:两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的角平分线互相 。ABPCQEF5如图,在ABC中,BP平分ABC,CP平分ACB,BQ平分EBC,CQ平分FCB,若A=o,则BPC=90o+ 。由题4的结论得知:PBBQ,PCCQ,DABCMBQC=360o290o(90o+)=90o。6如图,在ABC中,BM平分ABC,CM平分ACD,若A=o,则BPC= 。请你尝试用两种方法进行证明。AA1BCDA27如图,在ABC中,A=96o,延长BC到D,ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1,
5、A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2,以此类推,A4BC的平分线与A4CD的平分线交于点A5,则A5的大小是 o。加强卷四(距离之和最短)1如图(1),在轴上寻找一点P,使其到A(1,-1)、B(3,3)的距离之和最短; 如图(2),在轴上寻找一点Q,使其到C(1,1)、D(3,3)的距离之和最短;0xCDy0xABy 如图(3),已知点E(3,1)、F(1,3),请你分别在轴和轴上各寻找一点M、N,使得EM+MN+NF的值最小。0xEFy图(1) 图(2) 图(3)2请你分别求出上题中点P、Q、M、N的坐标: (1)P ;(2)Q ;(3)M 、N 。3在直角坐标系中,作ABC关于直
6、线对称的ABC;y0xABC(1)请写出两个三角形各顶点坐标: A: ; A: ;B: ; B: ;C: ; C: 。(2)比较以上各点的坐标,你发现: 点(m,n)关于直线对称的点的坐标为 。(3)在直线上有一点P,且PA+PC的值最小,请通过画图找到点P位置,点P的坐标为 。0xAByCP4四边形OABC是一张台球桌的平面图,长为3m,宽为2m,以O为原点建立平面直角坐标系。(1) 现有一个球在点P(,)处,小明准备将球先击中挡板OA,反弹后落入B洞,则小明应击中何处?(2) 若挡板AB可以左右平移,则OA长度在什么范围内,按上题的击球路线,球可以先击中OA,反弹后击中AB,再次反弹击中B
7、C?(3)若题(2)中的挡板AB=2.5cm,则OA的长度范围是什么?加强卷五(三条线段的关系)ABCDPQMN 一般情况下,三条线段的关系以“两条短线段之和等于最长线段”为主,但有时可能会出现另一种情况:“两边之和大于第三边”。两种情况如何区分呢?我们可以将三条线段进行适当的相等变换,变换之后若三条线段集中在一条线段上,则结论以第一种形式出现;若三条线段集中在一个三角形中,则结论以第二种形式出现。例1 如图,PAQ=45o,将PAQ顶点定在正方形ABCD的顶点A处,绕点A旋转,它的两边与BC、CD分别交于点M、N。求证:MN=BM+DN;当PAQ旋转到两边分别与BC、CD的延长线交于点M、N
8、时,BM、DN、MN的长度关系是 。提示:延长ND到点E,使DE=BM先证ABMADE,再证AMNAEN。ABCD备用图提示:先在备用图中画图,再模仿上题证明。ABCDMNPQ拓展(1) 如图,四边形ABCD中,AB=AD,BAD=120,ABBC于点B,ADCD于点D,PAQ=60,PAQ绕点A旋转,它的两边分别与边BC、CD交于点M、N,连接EF,你可以推测BM、DN、MN三条线段的长度关系为 。(2)如图,四边形ABCD中AB=AD,BAD=、ABC=、ADC=,若要使题中的结论仍成立,应添加条件: 、 ,并证明这一结论。ABCDMQPN ABCDMNPQ(2) 如图,当PAQ旋转到两边
9、分别与CB、DC的延长线交于点M、N时,BM、DN、MN的长度关系又是怎样的呢?(请直接写出结论) ABCDGEF例2如图,ABC中,BD=CD,DEDF,延长FD到点G,使DG=DF,连接BG,则线段BE+CF与EF的关系是 ,请证明。拓展如图,ABC中,BD=CD,请证明:AB-AC2ADAB+ACBCDA加强卷六 (面积法)ABCEPFH如左图,在ABC中,AB=AC,BC边上任意一点P,作PEAB于E,PFAC于F,CHAB于H,连接AP。 即 又 ABCMPN两边同除以得:(1)根据上述解答过程,得到结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 。(2)应用:如图a,在ABC中,AB=AC=6, PMAB,PNAC,若A=30o,则PM+PN= ;等腰三角形的腰长为a,顶角为150度,则底边上一点ABCMPNH到两腰的距离之和为 。 (图a)(3)拓展:如图b,若点P在BC延长线上,则PM、PN、CH的关系是 ,请证明; DABCPHEF (图b)如图c,点P在等边ABC内,则它到三边的距离PD、PE、PF与高AH的关系是 ,请你进行证明;DABCQHEF(图c)如图d,点Q在等边ABC外,则它到三边的距离QD、QE、QF与高AH的关系是 ,请你进行证明; (图d)我们知道:三角形的角平分线交点到 距离相等,若一个三角形的面积为10cm2,周长为8