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1、让函数走进学生的生活变化是永恒的，我们周围的一切事物都在时刻发生着变化.那么事物变化的规律怎样？它们的变化之间是如何互相影响的？如何从数学的角度对这些问题进行思考，对变量和变量之间的关系进行描述？这些问题的提出，使得研究变量和变量之间关系的数学内容函数，成为与现实世界联系最密切的内容之一.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称数学课程标准）对于函数部分内容的定位从以往单纯作为一个“知识点”转变为“刻画变量之间变化关系的数学模型”.因此，北师大版初中数学教材明确提出要培养学生的函数思想.为了更好地体现数学课程标准的理念，让函数内容能够走进学生的生活实际，帮助他们加深对函数内容的理解，我们
2、主要从以下几个方面进行了思考与设计.对函数内容价值和定位的思考20世纪以前的中学代数的主要内容是“数、式、方程”，其中方程占据着中心的位置，例如，一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组等.20世纪初，在英国数学家贝利（Perry，J.18501920）和德国数学家克莱因（Klein，C.F.18491925）等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学，这不仅是中学数学教育改革的一件大事，也是整个数学教育改革的一个里程碑.作为哥根廷大学首席教授的克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂，以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它的
3、周围，进行充分地综合.”他主张用近代数学的新观点改革传统的中学数学内容，他的这些数学教育思想在数学教育历史上占有重要的地位，同时也给我们重新思考函数内容的价值和定位带来了深刻的启示.数学课程标准对函数部分内容的定位从以往单纯作为一个“知识点”转变为“刻画变量之间变化关系的数学模型”.在这样的定位之下，初中阶段对函数内容的具体要求就不仅仅是一些具体的函数（正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等）和有关函数的具体知识点（定义域、值域、表达式、基本性质等），还应该将函数作为一种思想方法，用于探索实际问题中的数量关系和变化规律，解决日常生活中的相关问题.另外，还应该特别关注函数与其他相应数学内容
4、之间的联系，比如函数和方程的联系、函数和不等式的联系等等.北师大版初中数学教材对函数内容的 具体处理基于数学课程标准对函数内容的定位与我们对函数内容价值及定位的理解，北师大版初中数学教材对函数部分内容作了如下的安排：突出函数作为“变化过程中变量之间关系”的数学模型，更好地契合初中阶段学生的生活实际和认知特点，采用“提前渗透、突出本质、关注联系”的方式逐步渗透函数的思想.具体的设计思路如下： 1提前渗透国际上对数学课程的研究，以及数学课程发展的趋势表明，儿童早期对函数的丰富经历是十分重要的.因此对变量的学习、对变化规律的探索和描述应从低年级开始.教材首先从学生的生活经验和已有背景出发，让学生感受
5、变化过程中两个变量之间的“对应”关系，并尝试探索变化规律的活动.例如，在七年级上册字母表示数一章的“代数式求值”一节中，教材设计了一个“数值转换机”（图1），要求根据输入的数值写出输出结果，并在随后的“议一议”栏目中要求根据代数式的值探索代数式所表示的规律.这里体现了函数“对应”的特征，同时也是教材第一次渗透了函数的思想，对于学生理解抽象的函数表示有较大的帮助.七年级下册变量之间的关系一章，第一次集中讨论变量之间的关系，非形式化地开始对函数内容的学习.教材通过大量学生感兴趣的日常生活事件或其他学科中的问题（如骆驼的体温，图2），让学生充分体会变量之间相互依赖的关系，并让他们经历研究函数基本性质
6、的过程，尝试根据函数的基本特征做预测的活动.如观察图2中骆驼体温的变化情况，思考何时体温上升？何时体温下降？两天中相同时刻时体温之间有何关系？对这些问题的回答事实上渗透了对函数的取值范围、增减性、周期性等函数基本性质的初步了解.这些内容的学习一方面将使学生充分感受到数学的应用价值，使他们初步理解并尝试用数学的方法描述变量之间的关系；另一方面也将丰富学生对变量和变量之间关系的直观经验，为后续的函数学习打下坚实的基础. 2突出本质从八年级上册开始，教材依次介绍了正比例函数和一次函数、反比例函数、二次函数，让学生进入对函数内容的实质性学习：理解函数的基本概念（自变量、定义域等）和相关的性质（增减性、
7、周期性、奇偶性等），掌握研究函数的基本方法，并借助函数的知识和方法解决实际问题.教材在这几部分内容的设计上基本都体现了“问题情境建立模型概念、性质、方法应用、拓广”的模式.例如，九年级上册反比例函数一张，教材首先通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比例函数的概念；接着通过各种实例丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义；然后介绍了反比例函数的三种表示方法，探索并掌握反比例函数的主要性质；最后讨论了反比例函数的某些应用，包括在实际生活中的应用和在数学内部的应用.由于有了七年级的相关内容作为铺垫，学生对函数的理解已经有了丰富的背景和足够的支撑，在研究这些具体的函数时就不太会
8、觉得抽象难懂了.3关注联系教材特别关注不同函数之间的联系以及函数与其他相应数学内容之间的联系，比如一次函数和一次方程的联系（八年级上册第7章）、一次函数和一次不等式的联系（八年级下册第1章）、二次函数和二次方程的联系（九年级下册第2章）等等.主要目的在于让学生了解函数与其他数学内容的实质性联系，进而构建函数在初中数学知识系统中的地位.事实上，函数、方程和不等式都是刻画现实世界的数学模型，不同的是三者所刻画的内容不同，方程刻画的是瞬间，不等式刻画的是绝对，而函数刻画的才是本质.在考虑方程和不等式等问题的过程中，不妨将其放在函数的背景中，从变化的角度进行思考，或许会对相应的数学对象有更深刻的理解，
9、同时也会对函数的本质有更深刻的体会.反过来，通过方程、不等式等相关内容的学习，将有助于加深我们对函数思想的认识.三、函数的学习是循序渐进、螺旋上升的当然，对于理解函数所反映的对应与变化的思想，我们不能一蹴而就.初中阶段对函数的认识仅仅是一个开始，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，进一步抽象概括出函数的严格数学定义.在此基础上，我们将认识一些具体函数的模型，如，分段函数、简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数.结合这些函数，还将引入刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质.同时，函数的思想方法也将贯穿于整个高中数学课程的始终.函数不仅在中学数学阶段占有重要的基础地位，而且在今后的数学学习中依然扮演着重要的角色，比如大学课程中微积分（又称作数学分析）的基本研究对象就是“函数”.再如，在微积分基础上的许多课程，像微分方程、实变函数、复变函数、泛函分析、调和分析、函数逼近理论等等，它们都是从不同角度研究函数所构成的课程，都是围绕函数展开的.函数作为刻画客观世界的一个重要数学模型贯穿了初中阶段学习的始终，它为我们解决日常生活和其他学科的同一类问题提供了强有力的方法，使我们深切认识到数学的应用价值.同时，函数思想是数学课程的一条主线，它从一个角度链接起了数学课程的许多内容，使我们对知识的理解更加深刻，对知识的掌握更加牢固.3
