《2020年1月9日福建省福州市高2020届高2017级高三高中毕业班期末质量检测理科数学试题参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年1月9日福建省福州市高2020届高2017级高三高中毕业班期末质量检测理科数学试题参考答案.pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理科数学参考答案及评分细则 第1 页 共 10 页 2019 2020 学年度第一学期福州市高三期末质量检测 数学 理科 参考答案及评分细则 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 除第16 题外 选择题和填空题不给
2、中间分 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 B 2 D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B 11 B 12 A 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 2 e214 3 15 8 3 16 2 6 8 6 729 三 解答题 本大题共6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要 求作答 17 命题意图 本题主要考查利用正弦定理和余
3、弦定理解三角形 任意三角形的面积 考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力 考查的核心素养是逻辑推理 直观想象 数学运 算 解析 解法一 1 在ABC 中 由正弦定理及题设得 sinsin ACBC BA 故 17 sinsin150B 3 分 解得 1 sin 2 7 B 4 分 福 州 市 高 三 数 学 理科数学参考答案及评分细则 第2 页 共 10 页 又 030B 所以 3 33 21 cos 14 2 7 B 6 分 2 设 ADCDx 则2BDx 在ABC 中 由余弦定理得 2 22 2cosBCABACAB ACA 即 2 7916 cosxxA 7 分 在等腰ACD 中 有 1
4、1 2 cos 2 AC A ADx 8 分 联立 解得1x或1x 舍去 9 分 所以ACD 为等边三角形 所以60A 11分 所以 113 3 sin3 1sin60 224 ABC SABACA 12分 解法二 1 同解法一 6 分 2 设 ADx 则 2 CDx BDx 因为ADCBDC 所以BDCADCcoscos 7 分 由余弦定理得 得 222 22 4721 42 xxx xx 8 分 所以 2 1x 解得1x或1x 舍去 9 分 所以ACD 为等边三角形 所以60A 11分 所以 113 3 sin3 1sin60 224 ABC SABACA 12分 18 命题意图 本题考查
5、等差数列和等比数列的通项公式 性质 错位相减法求和 考查 学生的逻辑推理能力 化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力 考查的核心素 养是逻辑推理与数学运算 解答 1 依题意得 2 324 bb b 福 州 市 高 三 数 学 理科数学参考答案及评分细则 第3 页 共 10 页 所以 2 111 6 2 14 aaa 1 分 所以 22 1111 12361628 aaaa 解得 1 2 a 2 分 2 n an 3 分 设等比数列 n b的公比为 q 所以 34 22 8 2 4 ba q ba 4 分 又 2 22 4 422 nn nbab 5 分 2 由 1 知 2 2 n nn
6、 an b 因为 1 112 121 2 n nn nn cccc aaaa 当2n 时 112 121 2 nn n ccc aaa 6 分 由 得 2 n n n c a 即 1 2 n n cn 7 分 又当 1n 时 3 112 2cab不满足上式 1 8 1 2 2 n n n c nn 8 分 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 822322020 2S 2342021 41 222322020 2 9 分 设 23420202021 2020 1 222322019 220202T 则 34520212022 202021 2223 22019 22020
7、 2T 由 得 23420212022 2020 22222020 2T 10分 22020 2022 2 12 20202 12 2022 420192 11分 所以 2022 2020 201924T 所以 2020 S 2022 2020 42019 28T 12分 19 命题意图 本题考查空间直线和直线 直线和平面 平面和平面的垂直的证明 二面 福 州 市 高 三 数 学 理科数学参考答案及评分细则 第4 页 共 10 页 角等基础知识 考查学生的逻辑推理能力 化归与转化能力和空间想象能力 考查的核心素养 是直观想象 逻辑推理与数学运算 解析 解法一 1 因为 PA底面 ABCD BC
8、平面 ABCD 所以 PABC 1 分 因为 ABCD 为正方形 所以ABBC 又因为PAABA 所以 BC平面 PAB 2 分 因为 AE平面 PAB 所以 AEBC 3 分 因为 PAAB E 为线段 PB 的中点 所以 AEPB 4 分 又因为PBBCB 所以 AE平面 PBC 5 分 又因为 AE平面 AEF 所以平面AEF平面 PBC 6 分 2 因为 PA底面 ABCD ABAD 以 A 为坐标原点 分别以 AB AD AP的方向为x 轴 y 轴 z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 设正方形ABCD 的边长为2 则0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0
9、0 2 1 0 1ABCDPE 7 分 所以1 0 1 2 2 2 0 2 2 AEPCPD 设点 F 的坐标为2 002 所以2 0 AF 设 111 xy zn为平面 AEF 的法向量 则 0 0 AE AF n n 所以 11 11 0 20 xz xy 取 1 2y 则 2 n 8 分 设 222 xyzm为平面 PCD 的法向量 则 0 0 PC PD m m 所以 222 22 0 0 xyz yz 福 州 市 高 三 数 学 理科数学参考答案及评分细则 第5 页 共 10 页 取 2 1y 则0 1 1m 10分 因为平面 AEF 与平面 PCD所成的锐二面角为30 所以 2 2
10、 3 cos30 2 224 m n mn 11分 解得1 故当点 F 为 BC 中点时 平面AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为30 12分 解法二 1 因为 PA底面 ABCD PA平面 PAB 所以平面 PAB底面 ABCD 1 分 又平面PAB底面 ABCDAB BCAB BC平面 ABCD 所以 BC平面 PAB 2 分 因为 AE平面 PAB 所以 AEBC 3 分 因为 PAAB E 为线段 PB 的中点 所以 AEPB 4 分 因为PBBCB 所以 AE平面 PBC 5 分 又因为 AE平面 AEF 所以平面 AEF平面 PBC 6 分 2 同解法一 12分 20 命题意图
11、 本题考查直线和圆的相切 椭圆的图象和性质 直线和椭圆的位置有关 系 考查学生的逻辑推理能力 化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力 考查的 核心素养是直观想象 逻辑推理与数学运算 解析 1 因为圆 O 的半径为 2 3 3 所以 22 22 1 0 xy Cab ab 的短轴长为 2 3 62 2 3 1 分 所以 22 2b 解得2b 2 分 因为 C 的离心率为 2 2 所以 2 2 c a 3 分 又因为 222 acb 所以 22 2ac 联立 解得 2 4a 4 分 所以所求 C 的方程为 22 1 42 xy 5 分 福 州 市 高 三 数 学 理科数学参考答案及评分细则
12、 第6 页 共 10 页 2 证明 证法一 当直线 l 斜率不存在时 直线 l 的方程为 2 3 3 x 当 2 3 3 x时 2 3 2 32 32 3 3333 AB 所以 44 0 33 OA OB 6 分 当 2 3 3 x时 2 3 2 32 32 3 3333 AB 所以 44 0 33 OA OB 综上 OAOB 所以AOB 为直角三角形 7 分 当直线 l斜率存在时 设其方程为 1122 ykxm A x yB xy 直线 l 与圆相切 2 2 3 3 1 m k 即 22 3440mk 8 分 由 22 1 42 ykxm xy 得 222 12 4240kxkmxm 所以
13、2 1212 22 424 1212 kmm xxx x kk 9 分 所以 1212 OA OBx xy y 1212 x xkxmkxm 22 1212 1 kx xkm xxm 10分 222222 2 1 24 4 12 12 kmk mmk k 22 2 344 0 12 mk k 11分 所以 OAOB 综上所述 OAOB所以AOB 为直角三角形 12分 证法二 当直线方程为 23 3 y 时 福 州 市 高 三 数 学 理科数学参考答案及评分细则 第7 页 共 10 页 2 3 2 32 3 2344 0 333333 ABOA OB 所以 OAOB 所以AOB 为直角三角形 6
14、 分 当直线方程为 2 3 3 y 时 232 32 32 344 0 333333 ABOA OB 所以 OAOB 所以AOB 为直角三角形 7 分 当直线 l 不与x轴平行时 设其方程为 1122 xtym A xyB xy 因为直线 l 与圆相切 所以 2 2 3 3 1 m t 即 22 3440 mt 8 分 由 22 1 42 xtym xy 得 222 2 240 tytmym 所以 2 1212 22 24 22 tmm yyy y tt 9 分 1212 OA OBy yx x 1212 y ytym tym 22 1212 1 ty ytm yym 10分 222222 2
15、 1 4 2 2 2 tmt mmt t 22 2 344 0 2 mt t 11分 所以 OAOB所以AOB 为直角三角形 综上所述 AOB 为直角三角形 12分 21 命题意图 本题考查函数和导数的应用 利用导数判断函数的单调性 证明不等式 函数零点个数等基础知识 考查学生的逻辑推理能力 化归与转化能力 考查的核心素养是直 观想象 逻辑推理与数学运算 解答 1 当 1 2 a时 21 cos1 2 fxxx 所以 f x 的定义域为R 且 fxf x故 f x 为偶函数 1 分 当0 x时 sinfxxx 记sing xfxxx 所以cos1gxx 2 分 福 州 市 高 三 数 学 理科
16、数学参考答案及评分细则 第8 页 共 10 页 因为0gx 所以g x在0 上单调递增 即fx在0 上单调递增 3 分 故00fxf 4 分 所以fx在0 上单调递增 所以00fxf 5 分 因为 f x 为偶函数 所以当xR 时 0f x 6 分 2 当0a时 cos1fxx 令cos10 x 解得2xkk 所以函数 f x 有无数个零点 不符合题意 7 分 当0a时 22 cos10fxxaxax 当且仅当0 x时等号成立 故0a符合题 意 8 分 因为fxfx 所以f x是偶函数 又因为00f 故0 x是fx的零点 9 分 当0a时 sin2fxxax 记sin2g xfxxax 则cos2gxxa 1 当 1 2 a时 cos2cos10gxxax 故g x在0 单调递增 故当0 x时 00 g xg即0fx 故fx在0 单调递增 故00 f xf 所以fx在0 没有零点 因为 fx 是偶函数 所以 fx 在 R 上有且只有一个零点 10分 2 当 1 0 2 a时 当0 2x时 存在 1 0 x 使得 1 cos2xa 且当 1 0 xx 时 g x单调递减 故00g xg
