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1、【知识拓展】1若函数yf（x）是由参数方程所确定的，该怎样求它的导数？前面我们讨论了显函数和隐函数的导数，但在某些情况下，因变量y与自变量x的关系是通过另一参变量t由参数方程和来给出的，对于这类函数，有时可以把它很简单地表示成显函数的形式，但有时就比较麻烦甚至不可能因此，我们有必要找出这类函数的求导方法设的反函数，并设它满足反函数求导的条件，于是可把y看作复合函数由复合函数与反函数的求导法则，得思路启迪 根据二阶导数的定义因此要求只要把y对x的导数求出来，再将与xt1联系，重复利用参数方程求导公式，求出对x的导数，即也即是我们要求y对x的二阶导数如果函数yf（x）是由极坐标方程（）给出来的，则
2、可把极坐标方程先化成参数方程，再求导数即x（）cos,y（）sin,从而2什么是罗尔定理？我们先考察一个函数，容易验证这个函数满足：（）在闭区间1，1上连续（）在开区间（1，1）内可导（）f（1）f（1）1这个函数的导数得x0（1，1）即在开区间（1，1）内存在点x使得（如图314）一般地，我们有（即罗尔定理）若函数f（x）满足条件（）在闭区间a,b上连续；（）在开区间（a,b）内可导；（）在区间a,b的两个端点的函数值相等，即f（a）f（b），则至少存在一点使得罗尔定理的几何意义是：两个端点的纵坐标相等的处处存在切线（端点除外）的连续曲线yf（x）上，至少有一点的切线是水平的如图315显然f
3、（x）满足罗尔定理的三个条件，其中a1,b3存在点1（1，3），使即符合罗尔定理的结论3什么是拉格朗日中值定理？在罗尔定理的几何意义中，可以看出在罗尔定理的条件下，曲线上至少有一条切线是水平的，这时曲线的两个端点的连线也是水平的（f（a）f（b），因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线这个结论可以推广到更一般的情况，即有下面更一般的结论（即拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足：（）在闭区间a,b上连续；（）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点（a，b），使容易验证，F（x）在a，b上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点（a，b），使拉格朗日中值定理的几何意义是：处处存在切线(
4、两个端点除外)的连续曲线yf(x)上，至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图316)在拉格朗日定理的证明中，采用的方法是先作出一个辅助函数，故这种方法也称辅助函数法辅助函数法也称为构造法它是数学分析中一种重要的证题方法，这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数，然后再由已知条件、概念和定理，推断所要证明的结论的正确性拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理，也是微分学中最重要的定理之一，它的结论常称为拉格朗日中值公式为运用方便，可把这个公式写成下列几种形式对于这些公式要灵活运用，比如：不必局限于a0时，再由f（x）在b,ab上应用拉格朗日定理得因单调递减，故对aby，有注意到a0
5、，故有，于是从上面可以看出，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日的一种特殊情况（只要令f（a）f（b）即得罗尔定理）4怎样利用导数求不定式的极限？我们先看几个例子：从上面几个例子可以看出，有两个函数f（x）和g（x），当xa（或x）时都趋于零，或都趋于穷大，但这时的极限可能存在，也可能不存在，通常把这种类型的极限称为不定式的极限若xa时，f（x）与g（x）都趋于0，则称极限为型不定式；若当xa时，f（x）与g（x）都趋于无穷大，则称极限为型不定式关于不定式的极限，我们有下面的结论注：上面等式的右端分式是左端分式的分子和分母分别求导的结果，即是，而不是，这一点在利用上面的公式时
6、一定要注意若仍是一个不定式，并且它仍满足上面的三个条件，则此时对再用一次洛必达法则，即此时有，即洛必达法则可以重复应用上面的x的变化趋势xa可换成，结论仍成立思路启迪 由于当x0时，xxcosx0,xsinx0，所以这是一个不定式，考虑利用洛必达法则规范解法 易知这是型不定式，应用洛必达法则得：点评 本题在应用一次洛必达法则以后得极限：由极限公式：当x0时，1cosxxsinx0,1cosx0,故仍是一个不定式，且它的分子分母分别求导之后的极限存在，因此再应用一次洛必达法则思路启迪 由于故考虑利用洛必达法则思路启迪 按照导数的定义，我们有由已知存在可知g（x）在点x0连续，故显然，故极限为型不
7、定式又存在，从而存在由洛必达法则得点评 虽然存在，此时有即仍为不定式，但我们不能再次利用洛必达法则而用以解法：因为已知条件中只给出当x0时g（x）的两阶导数即存在，而当x0时，g（x）的两阶导数即不一定存在，即使存在，极限也不一定存在，故两次利用洛必达法则是错误的思路启迪 由于，故这是个不定式极限，考虑利用洛必达法则思路启迪 当x时，故这是个型不定式的极限，考虑利用洛必达法则，故有相继应用洛必达法则n次得点评 对该不定式利用n1次洛必达法则的每一结果仍是不定式，第n次应用洛必达法则极限存在，故该极限需相继使用n次洛必达法则才能求出极限除上述讨论的型与型不定式之外，在实际问题中，我们还常遇到一些
8、象、0、型的不定式，对于这些不定式，我们都可以通过一些变化把它变成型或型的不定式，从而可以得到解决下面我们通过一些例题加以说明 思路启迪 由于当故这是一个0型不定式，考虑首先将其变成或型，再利用洛必达法则点评 上述解题过程是将0型变成型，再应用洛必达法则，我们看会出现什么结果可以看出，当变成型再利用洛必达法则，不但求不出极限，而且结果比不用洛达法则以前更复杂，因此该极限不能变成型求它的极限由该例我们得到启示：当将0型变成型用洛必达法则求不出它的极限时，应考虑将它变成型，再利用洛必达法则求之思路启迪 对于型不定式，首先利用恒等式将其变成0型，再利用上述方法求之思路启迪 首先利用三角关系，将sec
9、xtanx变成再利用洛必达法则思路启迪 因为x0时，cosx1故这是型不定式，首先利用恒等式，并将其变成型或型，再利用洛必达法则思路启迪 因为当x时，故这是一个型不定式，首先利用恒等式即可从以上解题的过程可以看出，利用洛必达法则求不定式的极限是非常方便的，可以说，洛必达法则是解决不定式的极限的非常有用的方法因此希望读者能够熟练掌握此种方法凡遇到不定式的极限能够想到利用洛必达法则应用洛必达法则应注意以下几个问题：（1）审查所求的极限是否为不定式，不是不定式不能应用洛必达法则，因为它不满足洛必法则的条件，如：是错误的因为极限不是型不定式事实上（2）除计算两种不定式外，计算其他五种不定式、0、型要用对数或代数运算将它转化为不定式，然后再应用洛必达法则（3）洛必达法则中有一个条件是极限存在，如果极限不存在，计算极限就不能应用洛必达法则虽然不存在，但是极限也有可能存在，这时计算它的极限要用其他的计算极限的方法例如，计算极限，应用洛必达法则有极限（不存在），而极限却是存在的所以该极限不能应用洛必达法则这种现象也不难解释，因为在洛必达法则中，条件存在仅是充分条件，即当不存在时，而极限也有可能存在（4）应用洛必达法则计算不定式的极限，可能会出现仍是不定式，这时可再应用洛必达法则值得说明的是，在计算极限的过程中，掌握以下这些极限（不定式）并进行运用，将可简化极限的步骤，这些极限是：
