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1、第5讲 数列的综合应用随堂演练巩固1.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个,2小时后分裂成8个,3小时后分裂成16个,按此规律,6小时后细胞的个数是( ) A.63 B.64 C.127D.128 【答案】 D 【解析】 细胞分裂的个数依次构成等比数列,记为,则公比q=2, 则. 2.某商品降价10%后欲恢复原价,则应提价( ) A.10%B.11% C.%D.12% 【答案】 C 【解析】 设此商品原价为a,应提价x%,则a(1-10%)(1+x%)=a. 解得. 3.若a、b、c成等比数列,则函数的图象与x轴的交点的个数为( ) A.0B.1 C.2D.不确定 【答案】 A 【解析】 a
2、、b、c成等比数列, 且. 又 此函数的图象与x轴无交点. 4.下列给出一个“直角三角形数阵” 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为),则等于( ) A.B. C.D.1 【答案】 C 【解析】观察数表图,由题意知位于第8行第3列,且第1列的公差等于每一行的公比等于由等差数列的通项公式知,第8行第1个数为. 5.若A、B、C成等差数列,则直线Ax+By+C=0必过点 . 【答案】 (1,-2) 【解析】 2B=A+C,A-2B+C=0. 直线Ax+By+C必过点(1,-2). 课后作业夯基1.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形
3、垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19D.29 【答案】 B 【解析】 而满足的最大的n=19,当n=19时，.200-190=10. 2.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如若 009,则i与j的和为( ) A.105B.106 C.107D.108 【答案】 C 【解析】 由数表知,第一行1个奇数,第3行3个奇数,第5行5个奇数,第61行61个奇数,前61行用去1+3+5+个奇数. 而2 009是第1 005个奇数,故应是第63行第44个数,即i+j=63+44=107
4、. 3.已知等差数列的前n项和为且则过点和)的直线的斜率是 ( ) A.4B.3 C.2D.1 【答案】 A 【解析】 即解得d=4. 因过点和)的直线的斜率故选A. 4.某林厂年初有森林木材存量S ,木材以每年25%的增长率生长,而每年末要砍伐固定的木材量x ,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是 ( ) A.B. C.D. 【答案】 C 【解析】 一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x;二次砍伐后木材存量为S(1+25%)-x(1+25%)-x.由题意知S(1+50%),解得. 5.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的
5、5%以下,则至少需过滤的次数为(lg2.301 0)( ) A.5B.10 C.14D.15 【答案】 C 【解析】 设原杂质数为1,各次过滤杂质数成等比数列, 且公比q=1-20%, %; 由题意可知:(1-20%, 即0.05. 两边取对数得nlg0.8lg0.05, lg0.80, 即 .41,又n为过滤次数,故取n=14. 6.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神八”的“长征”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程都增加2 km,在到达离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是 ( ) A.10秒钟 B.13秒钟 C.15
6、秒钟 D.20秒钟 【答案】 C 【解析】 设每一秒钟通过的路程依次为则数列是首项为公差为d=2的等差数列,由求和公式得即2n+n(n-1)=240,解得n=15,故选C. 7.一梯形的上、下底长分别是12 cm、22 cm,若将梯形的一腰10等分,过每一个分点作平行于底边的直线,则这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和等于 . 【答案】 153 cm 【解析】 由题意过分点所作的线段由上往下构成等差数列,记为,则 cm,d=1 cm,所求为的前9项之和,即 cm. 8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半
7、多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励. 【答案】 2 046 【解析】 设第10名到第1名得的奖金数分别是则即因此每人得的奖金额组成以2为首项,以2为公比的等比数列,所以 046. 9.从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满,这样倒了n次,则容器中有纯酒精 升. 【答案】 【解析】 第一次容器中有纯酒精a-b,即升, 第二次有纯酒精即升, 故第n次有纯酒精升. 10.冬末春初,流感盛行,特别是甲流.某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列,已知且),则该医院30天入院治疗甲流的人数共有 人. 【答案】 255 【解析】
8、由于所以构成公差为2的等差数列,所以. 11.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2020年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2020年为第1年,设第n年出口量为吨,试求的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2020年最多出口多少吨?(保留一位小数.参考数据:0.35) 【解】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项公比q=1-10%=0.9, . (2)10年出口总量0.9. 10a(1-0. 即. .3. 故2020年最多出口12.3吨. 12.一辆邮政车自A城驶往B城,沿
9、途有n个车站(包括起点站A和终点站B),每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个,同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个,设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列(k=1,2,3,n). 试求:; (2)邮政车从第k站出发时,车内共有邮袋数多少个? (3)求数列的前k项和. 【解】 (1)由题意得 2)-1=2n-4, 2)+(n-3)-1-2=3n-9. (2)在第k站出发时,放上的邮袋共: (n-1)+(n-2)+(n-k)个, 而从第二站起,每站放下的邮袋共: 1+2+3+(k-1)个, 故2)+(n-k)- =kn-1 ,n), 即邮政车从第k站出发时,车内共有邮袋数个,其中k=1,2,n. (3) . 13.已知函数的图象过点且点)在函数的图象上. (1)求数列的通项公式; (2)令若数列的前n项和为求证:. 【解】 (1)函数的图象过点 . 又点)在函数的图象上,从而即. (2)证明:由得 则 两式相减得: . . 14.已知数列中N. (1)证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式; (2)记数列的前n项和为求使2 010的n的最小值. 【解】 (1)证明:.0. 故数列是公比为2的等比数列. . . 又满足上式,N. (2)由(1)知 . 由 010得 010, 即 006,n为正整数,n的最小值为1 006.
