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1、第5讲 空间中的垂直关系随堂演练巩固1.直线l不垂直于平面则内与l垂直的直线有( ) A.0条B.1条 C.无数条D.内所有直线 【答案】C 【解析】可以有无数条. 2.设m、n是两条不同的直线是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是( ) 若则;若则;若m则mn;若则. A.和B.和C.和D.和 【答案】A 3.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是( ) 平面平面PBC 平面平面PAD 平面平面PCD 平面平面PAC A.B.C.D.【答案】A 【解析】易证平面PAB,则平面平面PBC, 又ADBC,故平面PAB,则平面平
2、面PAB,因此选A. 4.如图,三棱锥P-ABC中平面,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角是( ) A.90B.60 C.45D.30 【答案】C 【解析】平面ABC, PB在平面ABC上的射影是AB. 是直线PB与平面ABC所成的角. 又在PAB中,PA=AB, . 直线PB与平面ABC所成的角是45. 课后作业夯基1.设、是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是( ) A.若则B.若则 C.若l则D.若l则 【答案】B 【解析】对于选项A、C,可能l所以A、C均不正确.对于选项D,可能l或所以D不正确. 2.命题(1)”直线l垂直于平面内的无数条直线,则”,命题(2)”若则
3、直线l垂直于平面内的无数条直线”,则( ) A.(1)是真命题,(2)是真命题 B.(1)是真命题,(2)是假命题 C.(1)是假命题,(2)是真命题 D.(1)是假命题,(2)是假命题 【答案】C 【解析】直线l垂直于平面内的无数条直线,则l有可能与斜交;反之若则直线l垂直于平面内的无数条直线.3.已知表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则”是”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面内的一条直线则反过来则不一定,所以”是”的必要不充分条件. 4.如图,已知六棱锥P-ABCD
4、EF的底面是正六边形平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( ) A. B.平面平面PBC C.直线BC平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45 【答案】D 【解析】AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直,A不成立;又平面平面PAE,平面平面PBC也不成立;BCAD,BC平面PAD.直线BC平面PAE也不成立.在RtPAD中,PA=AD=2AB,.D正确. 5.一直线和平面所成的角为则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是( ) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】由最小角定理,知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为最大角是当斜线与平面内的一条直线垂直时所成的角,它为
5、. 6.已知A(-1,2,7),B(-3,-10,-9),则线段AB中点关于原点对称的点的坐标是( ) A.(4,8,2)B.(4,2,8) C.(4,2,1)D.(2,4,1) 【答案】D 【解析】线段 AB的中点M的坐标是即M(-2,-4,-1), M关于原点对称的点为(2,4,1). 7.正方体ABCD-中,M、N分别是棱和AB上的点,若是直角,则 . 【答案】90 【解析】在正方体中平面 而平面 . 又是直角,即 而 平面. 即. 8.、是两个不同的平面,m、n是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断:;.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题为 . 【
6、答案】 (或) 【解析】根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知,正确的有或. 9.球O与正方体ABCD-各面都相切,P是球O上一动点,AP与平面ABCD所成的角为则最大时,其正切值为 . 【答案】 【解析】过正方体的对角面作截面,如图所示, M、N为切点,当AP与平面ABCD所成的角最大时,AP为圆O的切线.设正方体的棱长为2,则tantantan.10.设、为彼此不重合的三个平面,l为直线,给出下列命题: 若则; 若且则; 若直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面垂直; 若内存在不共线的三点到的距离相等,则平面平行于平面. 上面命题中,真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
7、 【答案】 【解析】由题可知中无数条直线不能认定为任意一条直线,所以错,中的不共线的三点有可能是在平面的两侧,所以两个平面可能相交也可能平行,故填. 11.如图所示,在长方体ABCD-中是侧棱的中点. (1)求证:平面ADE; (2)求三棱锥-ADE的体积. 【解】(1)证明:由勾股定理知: 则 . 平面平面 . 而平面ADE. 1=. 12.(2020山东临沂沂水)在直平行六面体中,四边形ABCD是菱形，. (1)求证:平面; (2)求证:平面平面. 【证明】 (1)连接交于连接. 在平行四边形中 四边形为平行四边形. . 平面 平面 平面. (2)在直平行六面体中平面 . 四边形为菱形,.
8、 平面平面 平面. 平面 平面平面. 13.如图,在四棱锥E-ABCD中,ADE是等边三角形,侧面底面ABCD,ABDC,BD=2DC=4,AD=3,AB=5. (1)若F是EC上任一点,求证:平面平面ADE; (2)求三棱锥C-BDE的体积. 【解】(1)证明:在ABD中,BD=4,AD=3,AB=5, . . 又平面平面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面ADE. 平面BDF, 平面平面ADE. (2)取AD的中点H,连接EH,由ADE为等边三角形得 平面平面ABCD,平面ABCD. . 又在ADE中在ABD中,AB边上的高为. . . 三棱锥C-BDE的体积为. 拓展延伸14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-中,E、F分别为、DB的中点. (1)求证:EF平面; (2)求证:; (3)求三棱锥-EFC的体积. 【解】(1)证明:连接在中,E、F分别为、DB的中点,则EF. 又平面平面 EF平面. (2)证明:由题易得 平面.又平面 . 又EF. (3) 平面即平面. 又易得 . 故, .
