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1、第6讲 空间向量及其运算随堂演练巩固1.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】:只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底.2.如图所示,长方体ABCDA1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设=a, =b, =c,则下列向量中与相等的向量是A.a+b+cB.a+b+cC.ab+cD.ab+c【答案】A【解析】 =+=+ ()=c+(ba)=a+b+c.3.下面几项中,代表与向量=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标的是()A.( ,1,1)B.(
2、-1,-3,2)C.(- ,-1)D.( ,-3,-2)【答案】 C【解析】 由题意可知-=(-,-1).故选C.4.在平行六面体ABCDABCD中,设=x+2y+3z,则x+y+z的值为A.B.C.D.【答案】A【解析】在平行六面体中, =+,又=x+2y+3z,x+y+z=.5.已知点A(3,5,2),a=(1,1,1),在yOz面上找一点B,使得a,则点B的坐标为_.【答案】(0,2,5)【解析】设B(0,y,z),则=(3,y5,z+2).a,存在一个实数,使得=a,即(3,y5,z+2)=(1,1,1),解得=3,y=2,z=5.点B的坐标为(0,2,5).课后作业夯基基础巩固1.在
3、平行六面体ABCDABCD中,向量、是A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量【答案】C【解析】=,、共面.2.下面几项中,代表与向量=(1,-1,-2)垂直的一个向量的坐标的是()A.( ,1,1)B.(-1,-3,2)C.(- ,-1)D.( ,-3,-2)【答案】 C【解析】 由两向量垂直的充要条件可得.3.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+ (+)等于()A. B. C. D. 【答案】 A【解析】 依题意有+ (+ )= + = .4.若向量a=(1,2),b=(2,1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则等于A.2B.2C.2或D.2或【答案】:C【解析
4、】由已知得=,8=3(6),解得=2或=.5.已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,),若a,b,c三向量共面,则实数等于A.B.C. D.【答案】D【解析】由题意得c=ta+b=(2t,t+4,3t2),6.已知直线AB、CD是异面直线,ACCD,BDCD,且AB=2,CD=1,则异面直线AB与CD所成角的大小为A.30B.45C.60D.75【答案】C【解析】cos,= ,与所成角为60.7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,给出以下向量表达式: (-)-;(+)-;(- )-2;(+)+.其中能够化简为向量的是()A.B.C.D.【答案】 A【解析】 (-)- =-
5、 =; (+)-=-=; (- )-2= -2; (+)+=+= .综上,符合题意.8.已知向量a=(1,0,1),b=(1,2,3),kR,若kab与b垂直,则k=_.【答案】7【解析】(kab)b,(kab)b=0.kabb2=0.k=7.9.已知a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且ab,则x+y的值为_.【答案】1或3【解析】ab且|a|=6,x+y=1或x+y=3.10.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2 ,则| |的值是 .【答案】【解析】 设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由2知
6、x=-,y=,z=3.由两点间距离公式可得|=.11.求同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量.【解】设所求向量c=(x,y,z),则所以y=-z,x.于是+z2+z2=1.所以z=,x=,y=.所以c=( ,)或c=(,).12.已知向量=(1,-3,2), =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2+|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得?(O为原点) 【解】 (1)2+=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2+|= =5.(2) = + = +t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若,则=0.所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t= ,因此存在点E,使得,此时E点的坐标为(-,-,).拓展延伸13.直三棱柱ABCABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D、E分别为AB、BB的中点. (1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.【解】 (1)证明:设=, =,=,根据题意,| |=|=|且=0,=+,=-+-.=-2+2=0.,即CEAD.(2)=-+,|=|,| |= |.=(-+)(+)=2=|2,cos,= =,即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.
