《高中数学《空间向量及其运算》同步练习5 新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学《空间向量及其运算》同步练习5 新人教A版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【考点13】 空间向量及其运算1（2020安徽卷文11）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_ 2（2020海南宁夏卷理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由3（2020浙江卷理20）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边 的等腰直角三角形，分别为，的中
2、点，（I）设是的 中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离4（2020全国，10）已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 （ ）ABCD5（2020广东，19，14分）如图题2所示， 等腰ABC的底边B=，高 CD=3点E是线段BD上异于点B、D的动点点F在BC边上，且EFAB现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE记，表示四棱锥P-ACFE的体积（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值6（2020福建，18）如图题3，在四棱锥P-ABC
3、D中，侧面PAD底面ABCD，侧棱=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由7（2020全国，11） 已知三棱柱 的侧 棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为ABC的中心，则与底面ABC所成角的正弦值等于 （ ）A B C D8（2020福建，6）如图题7，在长方体ABCD中，AB=BC=2，则与平面所成角的正弦值为 （ ）ABCD9（2020北京，16，14分）如图题6，在
4、AOB中，斜边，AOC可以通过AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角动点D在斜边AB上（1）求证：平面COD平 面AOB；（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（3）求CD与平面AOB所成角的最大值10（2020海南、宁夏高考题）如图题7，书已知点在正方体ABCD-的对解线上，（1）求DP与所成角的大小；（2）求DP与平面所成角的大小高考真题答案与解析数 学（理）【考点13】 空间向量及其运算1【解析】设，则由得，解得即M的坐标是2【解法一】 （）连BD，设AC交BD于O，由题意在正方形ABCD中，所以,得 ()设正方形边长，则又，所以, 连，由（）
5、知,所以, 且,所以是二面角的平面角由,知,所以,即二面角的大小为（）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为连BN在中知，又由于,故平面，得,由于,故【解法二】（）；连,设交于于，由题意知以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图设底面边长为，则高 于是 , , 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（）在棱上存在一点使由（）知是平面的一个法向量，且设 则 而 ，即当时，而不在平面内，故3【证明】（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP 所在直线为轴，轴，轴，建
6、立空间直角坐标系O，则 ，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为4答案：C【解析】令正四棱锥的棱长为2，则， B（1，1，0），D（-1，-1，0），S（0，0，），E，=（-1，-1，），=，AE、SD所成的角的余弦值为，故选C5【解析】：（1）EFAB，EFPE又PEAE，且PE在平面ACFE外，PE平面ACFEEFAB，CDAB，EFCD四边形AC
7、FE的面积=四棱锥P-ACFE的体积PE=即-（0）（2）由（1）知令当时，当时，当BE=时，有最大值，最大值为=（3）解法一：如图，以点E为坐标原点，向量、分别为、轴的正向建立空间直角坐标系则E（0，0，0），P（0，0，6），F（0，0），C（，3，0）于是，（0，-6）AC与PF所成角的余弦为=异面直线AC与PF所成角的余弦值为解法二：过点F作FGAC交AE于点，连结，则PFG为异面直线AC与PF所成的角ABC是等腰三角形，GBF也是等腰三角形于是FG=BF=PF=，从而=在GPF中，根据余弦定理得故异面直线AC与PF所成角的余弦值为6【解析】解法一：（1）证明：在PAD中PA=PD，O
8、为AD中点，所以POAD又侧面PAD底面ABCD，平面平面ABCD=AD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD（2）连结BO，在直角梯形ABCD中，BCAD，AD=2AB=2BC，有ODBC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC由（1）知，POPBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角因为AD=2AB=2BC=2，在AOB中，AB=1，AO=1，所以，在POA中，因为，AO=1，所以OP=1，在PBO中，=，=所以异面直线PB与CD所成的角是（3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为设，则，则（2）得，在POC中，PC=，所以=DP，则=，得1=，解得=，所以
9、存在点Q满足题意，此时（2）以O为坐标原点，、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，易得A（0，-1，0）B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）P（0，0，1），所以=（-1，1，0），=（1，-1，-1），=，所以异面直线PB与CD所成的角是（3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为由（2）知，（-1，1，0）设平面PCD的法向量为，则所以即，取，得平面PCD的一个法向量为（1，1，1）设Q（0，0）（-11），=（-1，0），由，得，解得或者（舍去），此时，以存在点Q满足题意，此时7答案：B【解析】可设底面边长与侧棱长为1个单位长度，因为在底面ABC内
10、的射影为ABC的中心，所以三棱锥为正四面体，所以到底面ABC的距离为，所以到底面的距离为，易知，所以，所以与底面ABC所成角的正弦值为故选B8答案：D【解析】连结，设=O，连结OB由已知得面，为所求角，在中，得，故选D9【解析】：（1）由题意，BOAO，BOC是二面角B-AO-C的平面角又二面角是直二面角，COBO，又，CO平面AOB，又CO平面COD，平面COD平面AOB（2）解法一：作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，CDE是异面直线AO与CD所成的角在中，CO=BO=2，BO=1，又AO=，在中， 异面直线AO与CD所成角的大小为解法二：建立空间直角坐标系，如图，则O（0，0，0），A（0，0，），C（2，0，0），D（0，1，），=（0，0，），=（-2，1，），=，异面直线AO与CD所成角的大小为（3）由（1）知，CO平面AOB，CDO是CD与平面AOB所成的角，且=当OD最小时，CDO最大，这时，ODAB，垂足为D，CD与平面AOB所成角的最大值为10【解析】如图42-8，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系则=（1，0，0），连接BD、在平面中，延长DP交于H设由已知，由，可得解得，所以（1）因为，即DP与所成的角为（2）平面的一个法向量是=（0，1，0）因为所以，可得DP与平面所成的角为300
