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平面向量的数量积典例精析 例1 平面内有向量,点X为直线OP上的一个动点。 (1)当的坐标; (2)当点X满足(1)的条件和结论时,求cosAXB的值。 分析:因为点X在直线OP上,向量共线,可以得到关于坐标的一个关系式;再根据的最小值,求得;而cosAXB是向量夹角的余弦,利用数量积的知识容易解决。 解:(1)设 又 于是 由二次函数的知识,可知当y2时,有最小值-8。此时; (2)当,即y2时,有,。 说明:由于X是OP上的动点,则向量均是不确定的,它们的模和方向均是变化的,于是它们的数量积也处在不确定的状态,这个数量积由的模及它们的夹角三个要素同时决定,由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数。 另外,求出的坐标后,可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。 例2 设平面内有两个向量。 (1)证明; (2)若两个向量与的模相等,求。 分析:题目的条件及所求结论均非常明确,只要能得到,即可证明(1),再利用|与|相等,确定的值。 证明:(1) (2) 由已知,可得到 注意到 于是(*)式化为。由于 说明:由解题过程可知a与b均是单位向量,由向量加法的平行四边形法则,可知是以a,b为邻边的平行四边形两条对角线,从(1)中,垂直,可知这个平行四边形是菱形,而由(2)知时,a与b的夹角为,因此。故,又,有(为a与b的夹角)。这时。此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形。