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1、二项式定理1 二项式定理 a+bn=Cn0an+Cn1an-1b1+Cnran-rbr+Cnnbn(nN*). 1.右边的多项式叫做的二项展开式 2.各项的系数叫做二项式系数 3.式中的叫做二项展开式的通项,它是二项展开式的第项,即 4.二项展开式特点:共项;按字母的降幂排列,次数从到递减;二项式系数中从到递增,与的次数相同;每项的次数都是二二项式系数的性质性质1 的二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即性质2 二项式系数表中,除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和,即性质3 的二项展开式中,所有二项式系数的和等于,即(令即得,或用集合的子集个数的两种计算方法结果相
2、等来解释)性质4 的二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和,即 (令即得)性质5 的二项展开式中,当为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值(即中间项的二项式系数最大)【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1的展开式中,常数项为15,则n= A3 B4 C5 D62.在的二项展开式中,若只有的系数最大,则 A8 B. 9 C. 10 D.11 3如果的展开式中含有非零常数项,则正整数的最小值为()35610题型二、展开式的系数和1.已知 求:(1);(2)(3);2.(江西理4)已知展开式中,各项系数的和与其各项二
3、项式系数的和之比为,则等于()3.(江西文5)设,则的值为() 4.(安徽文12)已知, ( 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是()A1B2C4D8题型四、多项展开:1.(|x|2)3展开式中的常数项是()A12B12 C20 D202.求 展开式中项的系数二项式定理1、展开式中的特殊项1解的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,当n=3时,当n=6时,选D。2.答案】C 解析】只有的系数最大,是展开式的第6项,第6项为中间项,展开式共有11项,故n=103答案:选解析:由展开式通项有由题意得,故当时,正整数的最小值为5,故选2、 展开式的系数和1.、2.解析:展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,由已知得2n=64,所以n=6,选C3.解析:令=1,右边为;左边把代入,选A.4.解析:已知, 则(=2563、一项展开:拆成两项1解析:故余数为8,选D 4、多项展开:1.解法一:展开式的通项为 令62r0,得r3T4 (1)320所求常数项为20解法二:(|x|2)3(1|x|)6中|x|3的系数A (1)320就是展开式的常数项评注:此题也可把其中的某两项看作一项对待,然后用二项式定理展开,但较繁,以上两种转化方式是比较实用的2.