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1、必修一第二章 函数-教学案2.1.1函数（一）变量与函数的概念学习目标1. 了解并掌握函数的概念和函数的要素，并会求一些简单函数的定义域和值域，注意搜集日常生活中的实例，整理与分析量与量之间的关系，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。2. 记录，了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点自主学习1. 变量的概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定了一个x值，相应的就确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数。 叫自变量， 叫因变量。例1、s=r2 其中r是 ，是 。 例2、 = 其中是 ，是 。2. 函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x ，按照确定的法
2、则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作：y=f(x) , xA。其中叫 。3. 定义域：函数中自变量x的允许取值范围例3、求下列函数的定义域： 1） 2） 3）f(x)=4、 函数的值域：如果自变量取值，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作：y=f(a), 或yx=a，所有的函数值构成的集合yy=f(x),x,叫做这个函数的值域。例4、求函数，在处的函数值和函数的值域。例5、已知函数f(x)=1,求f(0), f(-2), f(15)。5、 函数的三要素： 关于函数定义的理解： 定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体，值域由定义域、对应
3、法则唯一确定；f(x)与f(a)不同：f(x)表示“y是x的函数”;f(a)表示特定的函数值。常用f(a)表示函数y=f(x)当x=a时的函数值；f(x)是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x的对应函数值，是一个整体符号，不能分开.符号f可以看做是对”x”施加的某种运算步骤或指令.例如，f(x)=3x2，表示对x 施加“平方后再扩大3倍”的运算。函数还可以用g(x), F(x)来表示.函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，解析式后如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x的集合，如果函数是由几个部分组成，那么函数的定义域是使各部分有意义的交集，在研究实
4、际问题时，函数的定义域要受到实际意义的制约.例6 判断下列命题正确与否：1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应.2、函数的定义域和值域一定是无限集合.3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定.4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.5、对于不同的x , y的值也不同. 6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量.例7：求函数的解析式1）已知函数f(x)=，求f(x-1)。2）已知函数f(x-1)=，求f(x)。6、如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？ （1）定义域和对应法则是否给定；（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值
5、，是否都能确定唯一的函数值y.7、区间的概念：设且ab， ，叫闭区间，记作： ，叫开区间 ，记作： 叫半开半闭区间，分别记作： 其中a与b叫做区间的 。例8、分别满足的全体实数的集合分别记作： ， ， 。注意：在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示。8、相同函数：函数与函数之间只要定义域和对应法则都相同，就是同一函数. 定义域是函数的灵魂，而对应法则相当于骨骼。例9 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？1） f(x)=，(t)=;2） ;3） ,;4） ,;例10 ：求下列函数的定义域： 1）； 2）； 3）已知函数f(x)=3x4的
6、值域为10，5，则其定义域为 小结：求函数的定义域，就是求使这个解析式有意义的自变量的取值的集合，一般转化为解不等式（或不等式组）例11： 求函数f(x)=3x1(x|)的值域。 例12：已知函数f(x)=(a,b为常数，且a)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求ff(-3)的值。快乐体验 下列每对函数是否表示同一函数？（） （），（）. （2）（），（）（） （），（） 求下列函数的定义域，并用区间表示（） （）. （2）（）.（） （）. （4）f(x)3设（），则（）（）4. 当定义域是时，函数（）与（）表示同一函数。5、求函数的值域。6、设函数7、已
7、知函数（）（） 当时，求（）（） 若（），求的值。8、（1）若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域；（2）若函数f（3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域.9、设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或gf(x)）为复合函数。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11求复合函数ff(x)和gg(x)并指出这两个函数的自变量是什么?10、若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域。（二）映射与函数学习目标：1、 了解映射及一一映射的概念；2、 理解映射与函数关系知识疏理：1、映射
8、的定义：设.是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合中的任意一个元素x，在集合中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：为从集合到集合的一个映射，记作y f(x)，x这时称y是x在映射f的作用下的象，x称作y的原象.2、一 一 映射： 如果映射f是A到B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，则这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.函数是数集到数集的映射.自主测评：abc123EFabc123EFabc123EFabc123EF1、在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的映射是（ ）A B C D2、设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A
9、 B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+4，则在映射f下，象20的原象是（ ）A、 6 B、7 C、8 D、93、设f:AB是集合A到集合B的映射，下列命题中是真命题的是（ ）A. A中不同元素，必有不同的象； B. B中每一个元素，在A中必有原象；C. A中每一个元素在B中必有象； D. B中每一个元素在A中的原象唯一.4、已知映射f:AB的对应法则是f:(x,y)（x+y,x-y）(x,yR),那么与B中元素（2,1）对应的A中元素是（ ）A. (3,1) B. () C. () D. (1,3)5、已知集合A=a,b,B=1,2,3,则从A到B的不同映射有几个？从B到A的不同映射
10、有几个？A到B上的一一映射有几个？6、下列对应是不是从A到B的映射？2.1.2函数的表示方法学习目标：1、 会用列表法、图像法、解析法表示一些具体的函数，体会不同的函数表示法在实际情况下的用法；2、 结合现实生活中的丰富实例，了解简单的分段函数，并能做简单的应用.知识疏理：问题1下面是我国解放后五次人口普查数据表 年份19531964198219902000总人口数（亿）5.96.910.111.312.7这张表中，所表示的函数定义域为1953,1964,1982,1990,2000，值域为5.9,6.9,10.1,11.3，12.71、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的
11、方法叫列表法问题2：y = 2x + 1的图象能否表示一个函数？为什么？2、图象法：如果图形是函数的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上这种由图形表示函数的方法叫做图象法问题3：我们在作函数y = 2x + 1的图象时，先列表，后描点作图这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y = 2x + 1这种表示方法则叫做解析法你能给解析法下个定义吗？3、解析法：如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法（也称为公式法）。再比如y=x2, s=4.9t2等等.4、三种表示函数的方法各有优缺点：(1) 用解析法表示函数关系优点：简捷明了能从解析式清楚
12、看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算 缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算(2) 用列表法表示函数关系优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律(3) 用图象法表示函数关系优点：形象直观可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则， 这样的函数通常叫做分段函数。例4：国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:1. 信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;2. 信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.设一封x g(0x200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.
