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1、Mathtriones 同方教育 Teacher Xia第六讲：利用导数证明不等式及导数应用题一、证明不等式1当时,证明成立.证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式令(2)在应用拉格朗日中值定理: (3)故有 证毕！ 2证明:成立证：(1)构造辅助函数,令 (2)在应用拉格朗日定理:(3) 对于 的情形,同理可证. 证毕3证明:当时,有成立.证：(1) 构造辅助函数：令(2) 在应用拉格朗日中值定理, (3) 是单调增函数，故有,证毕4当时,证明成立.证：(1)令(2) 在单调减少(3) 在单调减少,且故当时, 证毕5当时,证明成立.证：(1)变形,令(2)令且从而在单调减少(3)且=0即有
2、成立6当时,证明成立.证：(1)变形，令(2)(一阶导数符号不易判定,借助)=单调增，且单调增加(3)在单调增,且,故有证毕7当时,证明:成立.解：(1)令 (2)令,驻点(3) ，为极小值点.由单峰原理,是最小值点最小值故有,即证毕8设,证明成立.证：(1)令(2)驻点(3)(4)比较上述函数值的大小:故有,即证毕9证明:当时,有.证：(1)令(2),在单调增加 (3) 由,得从而有 证毕二、证明方程根的个数10证明:当时,方程仅有一个实根. 证：(1)令单调增,故最多有一个实根(2)是一元五次方程至少有一个实根(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕11证明方程只有一个正根.证(1) 单调
3、增故最多有一实根(2)在连续且由零点定理知:至少有一个正根.（3）综上所述:只有一个正根12证明方程:有且仅有两个实根.解：(1)令在连续且由零点定理知:在至少有一个实根同理:=0在至少有一实根总之, =0在至少有两个实根(2) =0是一元二次方程,最多有两个实根()综上所述：=0有且仅有两个实根13设常数证明方程,在内有且仅有两个正根.证：(1)令 (x0)(2) ;令驻点0,为极大值点.由单峰原理:是最大值点最大值且, 故与轴有且仅有两个交点 (如示意图) 即在有且只有两个实根.三、 应用题（每小题10分，共50分）14已知曲线.（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.（2）求曲线的切线被
4、两坐标轴所截线段的最短长度.解：(1)求切线方程:切点切线方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.解：(1)画出示意图 (2)依题意,设所求圆柱体体积为V(3)求驻点,令,驻点（4）求最值点:,为最大值点答:当,时,所得圆柱体体积最大16某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:,其中是甲城到乙城所需要的时间(2)求驻点: 令,驻点(3)求最值:由实际问题的意义知道:最小值存在,且驻
5、点唯一,当时,客轮消耗燃料总费用最省.17欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:(2) 求驻点:令,驻点(3) 求最值:,当时,总造价最省.(4) 当时,答:当时,总造价最低.18从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大? 解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V依题意:, ,(2) 求驻点令=0.,驻点又(3) 求最值由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大.6
