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1、函数对称性的探究 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 高考题回放：（2020年广东卷I）设函数，且在闭区间0，7上只有 （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程在闭区间2020，2020上根的个数并证明你的结论。 分析：由可得：函数图象既关于x2对称，又关于x7对称，进而可得到周期
2、性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数的图像关于直线xa对称的充要条件是即 证明（略） 推论 函数的图像关于y轴对称的充要条件是 定理2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是 证明（略） 推论 函数的图像关于原点O对称的充要条件是 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。 若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线xb成轴对称（）
3、，则是周期函数，且是其一个周期。 以下给出的证明，的证明留给读者。 因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。 所以代得： 又因为函数的图像关于直线成轴对称。 所以代入（*）得： 得 代入（*）得： 是周期函数，且是其一个周期。 2. 不同函数对称性的探究 定理4 函数的图像关于点成中心对称。 证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点在的图像上。 同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。 推论 函数与的图像关于原点成中心对称。 定理5 函数与的图像关于直线成轴对称。 证明 设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图像上。 同理可证：图像上关于
4、直线对称的点也在图像上。 推论 函数与的图像关于直线y轴对称。 定理6 函数与的图像关于直线成轴对称。 函数与的图像关于直线成轴对称。 现证定理6中的 设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以代入之中得。所以点在函数的图像上。 同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的成立。 推论 函数的图像与的图像关于直线成轴对称。 3. 函数对称性应用举例 例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ） A. 是偶函数，也是周期函数 B. 是偶函数，但不是周期函数 C. 是奇函数，也是周期函数 D. 是奇函数，但不是周期函数 解：因为为偶函数
5、，所以。 所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。 例2 设定义域为R的函数、都有反函数，并且和的函数图像关于直线对称，若，那么（ ） A. 2002 B. 2020 C. 2020 D. 2020 解：因为的函数图像关于直线对称，所以的反函数是，而的反函数是，所以，所以有 故，应选（C）。 例3 设是定义在R上的偶函数，且，当时，则_ 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴； 又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以 例4 函数的图像的一条对称轴的方程是（ ） 解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。 例5 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_ 解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以
