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1、黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三数学上学期第二次调研考试试题 文（含解析）本试卷共23题，共150分一.选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中 只有一项尾符合题目要求的。1.集合.，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出集合、，利用交集的定义可得出集合.【详解】，由于指数函数是增函数，当时，则，因此，故选：B.【点睛】本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将转化为，并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.【详
2、解】，且，解得，故选：C.【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于基础题.3.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的解析式由内到外计算出的值.【详解】，因此，故选：D.【点睛】本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B
3、. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选：B5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.【详解】，故选：C.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.6.如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值.【详解】为的中点，且为的中点，所以，.因此，故选：A
4、.【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【详解】由的最小正周期是，得，即，因此它的图象向左平移个单位可得到的图象故选A考点：函数的图象与性质【名师点睛】三角函数图象变换方法：8.已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等
5、式的解集为故选B.【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数单调性转化求解，一般不代入解析式.9.已知正项等比数列中满足，若存在两项、，使得，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，由题中条件求出公比，再利用等比数列的通项公式以及条件可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，即，解得，即，所以，化简得，因此，故选：A.【点睛】本题考查等比数列相关量的计算，对于等比数列的问题，通常利用首项和公比进行表示，考查计算能力，属于中等题.10.中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的内角、的对边分别为、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面
6、积公式将题中等式用、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值.【详解】设的内角、的对边分别为、，则，所以，两个等式相除得，故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.11.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,若仍是比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：；则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，验证是否为非零常数，由此可得出正确选项.【详解】设等比数列的公比为，则.对于中的函数，该函数为“保等比数列函数”；对于中的函数，不是
7、非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；对于中的函数，该函数为“保等比数列函数”；对于中的函数，不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.锐角中，角、所对的边分别为、，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.【详解】，即，化简得.由正弦定理边角互化思想得，即，所以，是锐角三角形，且，所以，解得，则，所以，因此，的取值范围是，故选
8、：D.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二 填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列的前项和为，若，则 _。【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件列出有关首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得.因此，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列相关量计算，常利用首项和公差建立方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.14.已知函数的部分图象如图所示，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解
9、析】【分析】根据图象得出函数的最小正周期，利用公式求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，可求出的值.【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，得，将点代入函数的解析式，得，则，故答案为：，.【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式，基本步骤如下：（1）求、：，；（2）求：根据图象得出最小正周期，可得出；（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.15.已知两个非零单位向量、的夹角为.不存在，使；在方向上的投影为.则上述结论正确的序号是_（请将所有正确结论都填在横线上）【答案】【解析】【分析】根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量
10、投影的定义来判断各命题的正误.【详解】对于命题，命题正确；对于命题，同理可得，则，命题正确；对于命题，命题正确；对于命题，在方向上的投影为，命题错误.因此，正确命题的序号为，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.16.设函数 (为自然对数的底数），直线是曲线的切线，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线的切线方程，可将、用表示，构造函数，利用导数可求出函数的最小值，即为的最小值.【详解】设切点坐标为，设曲线在处的切线方程
11、为，所以，曲线在处的切线方程为，即，则，构造函数，则，令，得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.因此，的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是建立函数关系式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17-21题 必考题,每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数.（1）求函数的单调减区间；（2）求在上的最小值.【答案】（1）单调减区间；（2）.【解析】【分析】（1）利用
12、两角和的正弦公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，然后解不等式，即可得出函数的单调递减区间；（2）由计算出，然后利用正弦函数的性质可求出函数在上的最小值.【详解】（1），解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为；（2），当时，因此，当时，该函数取得最小值，且最小值为.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间以及最值的求解，对于这类问题的求解，通常要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，结合正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.18.等比数列的公比，且是、的等差中项.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题中条
13、件得出，求出的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.【详解】（1）由题意可得，即，解得.因此，数列的通项公式为；（2），上式下式得，因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.19.在中，角、所对的边分别为、，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；（2）利用正弦定理得出，于是得出，利用两角和的
14、正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.【详解】（1），且，即，即，化简得，则，得.，；（2）由正弦定理得，则，所以，为锐角，且，则，当时，取得最大值.【点睛】本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.20.已知数列中，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对等式变形后因式分解，可得出数列是等差数列，求出该数列公差，再利用等差数列的通项公式可求出；（2）将数列的通项公式裂项为，然后利用裂项求和法求出数列
