高三数学函数的图像苏教版知识精讲

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1、高三数学函数的图像高三数学函数的图像苏教版苏教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 函数的图像 二 教学目的 1 掌握描绘函数图象的两种基本方法 描点法和图象变换法 2 会利用函数图象 进一步研究函数的性质 解决方程 不等式中的问题 3 用数形结合的思想 分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4 掌握知识之间的联系 进一步培养观察 分析 归纳 概括和综合分析能力 三 重点 难点 教学重点 会利用函数图象 研究函数的性质 解决方程 不等式中的问题 教学难点 逆向使用图象解决问题 四 知识点归纳 1 作图方法 描点法和利用基本函数图象变换作图 作函数图象的步骤 确定函数的 定义域

2、化简函数的解析式 讨论函数的性质即单调性 奇偶性 周期性 最值 甚 至变化趋势 描点连线 画出函数的图象 2 三种图象变换 平移变换 对称变换和伸缩变换等等 3 识图 分布范围 变化趋势 对称性 周期性等方面 4 平移变换 1 水平平移 函数的图像可以把函数的图像沿 yf xa yf x 轴方向向左或向右平移个单位即可得到 x 0 a 0 a a 2 竖直平移 函数的图像可以把函数的图像沿 y 轴方向向 yf xa yf x 上或向下平移个单位即可得到 0 a 0 a a y f x y f x h y f x y f x h h左移 h右移 y f x y f x h y f x y f x

3、 h h上移 h下移 5 对称变换 1 函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到 yf x yf x x 2 函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到 yfx yf x y 3 函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到 yfx yf x 4 函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到 1 yfx yf x yx 5 函数的图像可以将函数的图像关于直线 x a 对称得到 xa2 fy x fy y f x y f x y f x y f x 轴x 轴y y f x y f x y f x y f 1 x 原点 xy 直线 y f x y f 2a x ax 直线 6 翻折变换 1

4、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折 yf x yf x xx 到轴上方 去掉原轴下方部分 并保留的轴上方部分即可得到 xx yf x x 2 函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边 yfx yf x yy 替代原轴左边部分 并保留在轴右边部分即可得到 y yf x y y f x cba o y x y f x cb a o y x y f x cb a o y x 7 伸缩变换 1 函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不 yaf x 0 a yf x 变 纵坐标伸长或压缩 为原来的倍得到 1 a 01a a 2 函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不 yf a

5、x 0 a yf x 变 横坐标伸长或压缩 为原来的倍得到 1 a 01a 1 a y f x y f x y f x y f y x x 以解析式表示的函数作图象的方法有两种 即列表描点法和图象变换法 掌握这两种 方法是本节的重点 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性 也应避免盲目地连点成线 要把表列在关 键处 要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围 大致特征 变化趋势等作 一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质 方程 不等式等理论和手段 是一个难 点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换 以及确定怎样 的变换 这也是个难点 典型例题典型例题 例 1 函

6、数与的图像如下图 则函数的图像可能是 yf x yg x yf xg x A y f x o y x y g x o y x o y x o y x o y xo y x ABCD 例 2 说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像 2xy 3 21 x y 解 方法一 解 方法一 1 将函数的图像向右平移 3 个单位 得到函数的图像 2xy 3 2xy 2 作出函数的图像关于轴对称的图像 得到函数的图像 3 2xy y 3 2 x y 3 把函数的图像向上平移 1 个单位 得到函数的图像 3 2 x y 3 21 x y 方法二 方法二 1 作出函数的图像关于轴的对称图像 得到函数的图

7、像 2xy y2 x y 2 把函数的图像向左平移 3 个单位 得到函数的图像 2 x y 3 2 x y 3 把函数的图像向上平移 1 个单位 得到函数的图像 3 2 x y 3 21 x y 例 3 设曲线的方程是 将沿轴 轴正方向分别平移 个C 3 yxx Cxyts 0 t 单位长度后得到曲线 1 C 1 写出曲线的方程 1 C 2 证明曲线与关于点对称 C 1 C 2 2 ts A 3 如果曲线与有且仅有一个公共点 证明 C 1 Ct 4 t s 3 解 解 1 曲线的方程为 1 C 3 yxtxts 2 证明 在曲线上任意取一点 设是关于点的对称点 C 111 B x y 222

8、B xy 1 BA 则有 代入曲线的方程 得的 1212 2222 xxtyys 1212 xtxysy C 22 xy 方程 3 222 sytxtx 即可知点在曲线上 3 222 yxtxts 222 B xy 1 C 反过来 同样证明 在曲线上的点的对称点在曲线上 1 CAC 因此 曲线与关于点对称 C 1 CA 3 证明 因为曲线与有且仅有一个公共点 C 1 C 方程组有且仅有一组解 3 3 yxx yxtxts 消去 整理得 这个关于的一元二次方程有且仅有一y 223 33 0txt xtts x 个根 即得 43 912 0tt tts 3 44 0t tts 因为 所以 0t t

9、 4 t s 3 例 4 1 试作出函数的图像 1 yx x 2 对每一个实数 三个数中最大者记为 试判断是否是的函x 2 1x xx yyx 数 若是 作出其图像 讨论其性质 包括定义域 值域 单调性 最值 若不是 说明 为什么 解 解 1 为奇函数 从而可以作出时的图像 1 f xx x f x0 x f x 又 时 0 x 2f x 时 的最小值为 2 图像最低点为 1x f x 1 2 又 在上为减函数 在上为增函数 f x 0 1 1 同时即以为渐近线 1 0 f xxx x x yx 于是时 函数的图像应为下图 的图象为图 0 x f x 2 是的函数 作出的图像可知 的yx 2

10、123 1g xx gxx gxx f x 图像是图 中的实线部分 定义域为 值域为 单调增区间为 R 1 1 0 1 单调减区间为 当时 函数有最小值 1 函数无最大值 1 0 1 1x 例 5 1 讨论方程 kx 的实数根的个数 1 x 2 方程 lgx x 3 的解所在区间为 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 3 关于x的方程 2x2 3x 2k 0 在 1 1 内有一个实根 则k的取值范围是 什么 解 解 1 通过函数 y 和 y kx 的图象观察 k 0 或 k 1 2 时有一个交点 1 x k 1 2 时有两个交点 0 k 1 2 时有三个交点 2 在同一平面直角坐标系中

11、 画出函数 y lgx 与 y x 3 的图象 如下图 它们的 交点横坐标 显然在区间 1 3 内 由此可排除 A D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头至于选 B 还是选 C 由于画图精 0 x 确性的限制 单凭直观就比较困难了 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头实际上这是要比较 与 2 的大小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt

12、头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头当 x 2 时 0 x lgx lg2 3 x 1 由于 lg2 1 因此 2 从而判定 2 3 故本题应选 C 0 x 0 x 3 分析 分析 原方程变形为 2x2 3x 2k后可转化为函数y 2x2 3x和函数y 2k的交点 个数问题 解 解 作出函数y 2x2 3x的图像后 用y 2k去截抛物线 随着k的变化 易知 2k 或 1 2k 5 时只有一个公共点 k 或 2 1 kx 1 x 3 分析 分析 令 y 则y2 x 3 y 0 它表示抛物线的上半支 令x 3 y x 1 表示一条直线 作出图象求解 解 解 作出抛物线y2 x

13、 3 y 0 以及直线y x 1 解方程组得x 2 或x 1 舍去 3 1 2 xy xy 由下图可知 当x 2 时不等式 x 1 成立 所以原不等式的解集为 x x 2 x 3 点拨解疑 点拨解疑 一般地 形如 亦可 等不等式皆可用数形结nmxcbxax 2 合求解 更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法 如 3 2 等 x 1 例 9 求 m 2x 的值域 9 436 2 x 分析 分析 设 y 即 4x2 9y2 36 y 0 则求值域问题转化为求直线 9 436 2 x 2x y m的纵截距的范围问题 解 解 设 y 即 4x2 9y2 36 y 0 又令 2x y m 9 436

14、 2 x 则由得 40 x2 36mx 9m2 36 0 3694 2 22 yx mxy 令 36m 2 160 9m2 36 0 得m 2 10 直线y 2x m过A点时 x 3 y 0 m 6 取得最小值 当直线与椭圆上半部分相切时 m取得最大值 210 由 m的取值范围为 6 2 值域为 6 2 1010 例 10 对函数y f x 定义域中任一个x的值均有f x a f a x 1 求证y f x 的图象关于直线x a对称 2 若函数f x 对一切实数x都有f x 2 f 2 x 且方程f x 0 恰好有 四个不同实根 求这些实根之和 命题意图 命题意图 本题考查函数概念 图象对称问

15、题以及求根问题 知识依托 知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题 错解分析 错解分析 找不到问题的突破口 对条件不能进行等价转化 技巧与方法 技巧与方法 数形结合 等价转化 1 证明 设 x0 y0 是函数y f x 图象上任一点 则y0 f x0 a 点 x0 y0 与 2a x0 y0 关于直线x a对称 2 2 00 xxa 又f a x f a x f 2a x0 f a a x0 f a a x0 f x0 y0 2a x0 y0 也在函数的图象上 故y f x 的图象关于直线x a对称 2 解 由f 2 x f 2 x 得y f x 的图象关于直线x 2 对称 若x0是f

16、x 0 的根 则 4 x0也是f x 0 的根 若x1是f x 0 的根 则 4 x1也是f x 0 的根 x0 4 x0 x1 4 x1 8 即f x 0 的实根之和为 8 例 11 如图 点 A B C 都在函数 y 的图象上 它们的横坐标分别是x a a 1 a 2 又 A B C 在 x 轴上的射影分别是 A B C 记 AB C 的面积为 f a A BC 的面积为 g a 1 求函数f a 和g a 的表达式 2 比较f a 与g a 的大小 并证明你的结论 解 解 1 连结AA BB CC 则f a S AB C S梯形AA C C S AA B S CC B A A C C 2 1 2 1 2 aa g a S A BC A C B B B B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 1 a 1 2 221 2 f ag aaaa 1 21 1 2 aaaa 111 0 2211aaaa f a 2 时 f x 0 从而有a 0 b 0 头 头 头 头 头 头