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1、第六章 立体几何初步6.1 两条直线之间的位置关系一、知识导学1. 平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2. 空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一
2、个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4. 异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离. 5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.
3、求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲例1在正方体ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线. B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A. 例2如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点. 错
4、解：证明：、F分别是AB,AD的中点,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, ,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, 平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,直线EG,FH,AC相交于一点T.例3判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在
5、其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题 例4 如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线证明 AB/CD， AB，CD确定一个平面又AB E，AB， E，E，即 E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E，F，G，H四点必定共线点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公
6、共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论例5如图，已知平面，且设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求证：AB，CD，共点（相交于一点） 分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面，的交线，因此，只要证明M，且M即可证明： 梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰 AB，CD必定相交于一点，设 AB CDM又 AB，CD， M，且M M又 ， M，即 AB，CD，共点点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的 例6已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面 分析：弄清楚四条直线不共点且两
7、两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内证明 1若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A 直线d和A确定一个平面 又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G A，E，A，Ea， a同理可证 b，c a，b，c，d在同一平面内2当四条直线中任何三条都不共点时，如图 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K又 H，Kc， c同理可证 d a，b，c，d四条直线在同一平面内点评：证明若干条线
8、(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义 例7 在立方体ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？ 解：(1)连结BD, 交AC于点O .(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MAMC，而O为AC的中点，因
9、此MOAC，即MOA90，异面直线BD1与AC所成的角为90.例8 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA平面ABC，BDPC，垂足为D，求证：ADPC证明：PA 平面ABCPABA又BAAC BA平面PACAD是BD在平面PAC内的射影又BDPC ADPC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1如图, P是ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.6对2. 两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF所成角的大小为 3. 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C
10、1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是 ，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ _.5.关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：可能是0的角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是180的角. 其中正确判断的序号是_.（注：把你认为正确的序号都填上）. 6在空间四边形ABCD中，ABCD，AH平面BCD，求证：BHCD 7如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合求证：EF和DH是异面直线6.2直线与平面之间的位置关系一、知识导学1. 掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）.2. 直线和平面所
11、成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是，当直线与平面垂直时所成的角是9，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角.3. 掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）.4. 直线与平面垂直的定义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
12、）.5. 直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）.6. 三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）.7. 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短.二、疑难知识导析1.斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线
13、和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的.4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.三、经典例题导讲例1已知平面平面，直线平面,点P直线,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且
14、到的距离为9的点的轨迹是（ ）A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D .两个点 错解：A.错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.正解：B. 例2 a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ). A有且只有一个 B一个面或无数个 C可能不存在 D可能有无数个错解：A.错因：过a与b垂直的平面条件不清.正解：C.例3由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C，O为ABC的外心，求证：.错解：因为O为ABC的外心，所以OAOBOC，又因为PAPBPC，PO公用，所以POA，POB，POC都全等，所以POAPOBPOC，所以.错因：上述解法中POAPOBPOCRT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明.正解：取BC的中点D，连PD、OD，例4如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N,求: （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
