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1、一.复习内容复习（第五章 平面向量）二. 知识要点：1. 向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。向量的大小（长度）叫做向量的模，模是非负数，可以比较大小，但由于方向不能比较大小，所以，向量不可以比较大小，这是数量与向量的最大差异。 2. 向量的表示方法： （1）几何表示法。向量可以用有向线段表示，如：AB 3. 零向量与单位向量： 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 4. 平行向量、相等向量、共线向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。规定0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。 相等向量：长度相等且
2、方向相同的向量叫做相等向量。任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。 5. 向量的加法：法。 注意：（1）两个向量的和仍为向量。 （2）对于零向量与任一向量a有a+0=0+a=a。 6. 向量的加法法则 （1）三角形法则：（首尾连接） （2）平行四边形法则：（共起点） 7. 向量的加法运算律。 （1）交换律：a+b=b+a （2）结合律：a+(b+c)=(a+b)+c 8. 相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。 零向量的相反向量为零向量。 相反向量性质： 9. 向量的减法：向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差。记 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
3、10. 实数与向量的积： 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： 11. 实数与向量的积的运算律： 12. 一个向量与非零向量共线的充要条件： 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b=a。 13. 平面向量的基本定理：如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 14. 向量坐标的概念。 若i，j分别是与平面直角坐标系内x轴，y轴方向相同的单位向量，且a=xi+yj，则x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标（不要说成横坐标，纵坐标）。记作a=(x,y)。 15. 相等向量坐
4、标的关系。 与向量a=（x，y）相等的所有向量的坐标均为（x，y）。 16. 向量坐标公式 17. 向量的和、差及实数与向量的积的坐标公式： 18. 向量共线定理： 向量a与非零向量b共线的充要条件是：有且只有一个实数，使a=b。 19. 平行向量的坐标关系： 20. 点分有向线段所成的比的概念。 21. 分点坐标公式。 此公式叫定比分点坐标公式。在此公式中，（x1，y1），(x2，y2)，（x，y）分别表示起点，终点，分点的坐标。 22. 中点坐标公式 此即为线段的中点坐标公式。 23. 三角形重心坐标公式。 24. 向量的夹角的概念 叫做a，b的夹角。 注意：（1）两个非零向量的夹角的范围
5、为： 25. a与b的数量积的概念 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（内积），记作ab。 注意：（1）a与b的数量积的结果是一个实数（可为正数、负数或零）。 26. b在a方向上的投影。 注意：（1）b在a方向上的投影不是向量而是一个实数，它的符号取决于角的范围。 （2）a在b方向上的投影|a|cos。 27. ab的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积，也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos的乘积。 28. 数量积的重要性质 设a，b均为非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角（则
6、a与b的夹角也为），由数量积的定义可得如下五条重要性质： 33. 在平移向量a及平移前后函数图象的解析式y=f(x)，y=g(x)三者之中，知道了两个能求出第三个。 34. 正弦定理： 余弦定理： 三.例题选讲 例1. 设a、b是非零向量，且a与b不平行，求证a+b与a-b不平行。 分析：如果结论不成立，即(a+b)/(a-b)，将会得到什么样的结果呢？因为两个向量共线，必定存在一个实数，使一个向量的倍恰好等于另一个向量。由此得到的关于a、b的等式就能推出与题设矛盾。 解： 小结：命题由否定形式出现，通常可考虑用反证法来证明。因为本题难度不大，所以也可直接利用向量平行的充要条件验证。如， 例2
7、. 分析：（1）注意c2=|c|2，根据向量数量积的定义及运算律先求出c2； 解： 小结：第（2）题把题中的向量a的起点设为原点，在图中旋转容易理解，但实际上与起点的位置无关。解题的思路能推广到一般情况。另外，结合图形可知n1，从而在二元二次方程组的解中选取适合题意的解。 例3. 分析： 解： 小结：直接用代数的方法求本题中的函数最值很困难，一般情况下转化为几何模型求解。这里借助向量计算，本质上还是几何模型，但运算简捷了。 例4. 如图所示，P、Q是ABC的边BC上两点，且BP=QC。 求证： 证明： 小结： 例5. 解： 小结： 例6. 解法一： 解法二： 小结：在采用定比分点公式解题时，起
8、点、终点、分点及相应的比值都是相对的，它们的位置关系可以根据问题的特点作适当调整。 例7. 解法一： 解法二： 由定比分点公式，可得： 小结：本题是向量坐标表示的典型题，方法一主要是运用若向量相等，则其坐标相等这一原则来解，思路清晰，易于理解，方法二主要运用定比分点公式求点的坐标，此题关形式，从而分别求出。 例8. 解： 小结：本例为2002年高考题（21）题第（1）小题，主要考查向量的数量积的坐标表示及等差数列基础知识等。 例9. 解法一： 解法二： 小结：从本例可以看出，如果把函数图像的解析式从一种形式变为另一种形式有两种方法，这两种方法实质相同，都应对此深刻理解。综合练习一. 选择题 1
9、. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个长度相等的向量一定相等， B. 相等的向量起点必相同 C. 共线，则A、B、C、D四点必在同一直线上 D. 相等的向量一定是平行向量 2. 向量 A. 充分不必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 3. 为非零向量，且，则（ ） A. 方向相同 B. C. D. 以上都不对 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则向量=（ ） A. B. C. D. 6. 在四边形ABCD中，其中、不共线，则四边形ABCD为（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 7. 若三点共线，则（ ） A
10、. B. C. D. 8. 与向量平行的向量是（ ） A. B. C. D. 9. 已知两点分有向线段所成的比 A. B. C. D. 10. 已知点P分 A. B. C. D. 11. 已知的三个值分别是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 12. 若把一个函数的图象按平移后得到函数的图象，则原函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 13. 若，则的夹角为_。 14. 已知，则k=_ 15. 已知_，_ 16. 已知_三. 解答题 17. 设，若A、B、D三点共线，试求k的值。 18. 已知向量，且，求x的值。 19. 已知，求的夹角。 20. 平面内有向量，点C为直线上的一动点，（1）当取最小值时，求的坐标。（2）当点C满足（1）时，求的值。【参考答案】一. 选择题 1. D2. B3. A4. B5. B 6. C7. B8. A9. A10. C 11. C12. D二. 填空题 13. 14. 15. 16. 三. 解答题 17. 设是两个不共线向量，已知，若A、B、D三点共线，试求k的值。 解： 18. 已知向量，且，求x的值。 解： 19. 已知，求的夹角。 解： 20. 平面内有向量，点C为直线
