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1、2020年高考数学（理科）模拟试题（四）一、选择题：（每小题5分，共40分）1、设集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,5,B=2,3,5,则CU(AB)等于( )(A) 1,2,4 (B)4 (C) 3,5 (D)2、已知sin=，sin1，若B=，求sinA+sinC的取值范围。16.(本小题满分14分) 在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为；乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是. (1)求乙、丙各自击中目标的概率； (2)求目标被击中的概率.17.(本小题满分14分) 如图，正三棱柱
2、ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FDAC1，(1)试求的值；(2)求二面角F-AC1-C的大小;(3)求点C1到平面AFC的距离.18.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*)，满足向量与向量共线，且点Bn(n,bn) (nN*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1，b1与n来表示an; (2)设a1=a，b1=-a,且12a15，求数列an中的最小项。19.(本小题满分12分) 已知定点F(0,a)(a0)，点P、M分别在x，y轴上，满足0，点N满足0.(1)求N点的轨迹方程C；
3、(2)过F作一条斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，设G(0,-a),AGB=，求证：00).参考答案一选择题18ABBBAABA二填空题921011121325914(1) (2) (3)三解答题15证解：16(12分) 解：(1)记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C. 则由已知，得P(A)=,P()=P()P()=1-P(C)=,P(C)=3分 由P(BC)P(B)P(C)=，得P(B)=，P(B). 8分 (2)目标被击中的概率为1-P()1-1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-(1-)(1-)(1-)=,10分答:(1)乙、丙各自击中目标的概率分别为，;(2
4、)目标被击中的概率为.12分17.(12分)解(方法1)(1)连AF，FC1，三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1中点，RtABF=RtC1B1F，AF=FC1. 又在AFC1中，FDAC1，所以D为AC1的中点，即=1.4分(2)取AC的中点E，连接BE及DE，易得DE与FB平行且相等， 四边形DEBF是平行四边形，FD与BE平行. 三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,ABC是正三角形,BEAC，FDAC. 又FDAC1，FD平面ACC1，所以二面角F-AC1-C的大小为90，9分 (3)运用等积法求解，AC2，AFCF，可求SACF2， VF-ACC1= V
5、B-ACC1=，VF-ACC1= VC1-ACF=SACFh，求得h=.12分18.(14分) 解：(1)点Bn(n,bn)(nN*)都在斜率为6的同一条直线上， =6，即bn+1-bn=6, 于是数列bn是等差数列，故bn=b1+6(n-1). 3分共线.1(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn 5分当n2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+bn-1 =a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)7分当n=1时，上式也成立.所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).8分(2)把a1=a,b
6、1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.12a15,当n=4时，an取最小值，最小值为a4=18-2a. 14分19.(14分)解：(1)，P为MN的中点. 设N(x,y)，则M(0，-y),P(). 于是()，. ()2-ay=0.即N点的轨迹方程为x2=4ay5分(2)由题意知，直线l的方程为y=kx+a,代入x2=4ay得x2-4akx-4a2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4ak,x1x2=-4a2. 7分 y1+y2=(kx1+a)+(kx2+a)=k(x1+x2)+2a=4ak2+2a, y1y
7、2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a2=-4a2k2+4a2k2+a2=a29分 G(0，-a),=(x1,y1+a),(x2,y2+a). =x1x2+(y1+a)(y2+a)=x1x2+y1y2+a(y1+y2)+a2 =-4a2+a2+a(4ak2+2a)+a2=4a2k20,即|cos0，cos0,故0.12分又点G(0，-a)不在直线l上，A、B、G三点不共线.故0.14分20.(14分) 解：(1)f(x)=3mx2-1,依题意，得tan= f(1)，即1=3m-1,m=. f(x)=,n=. (2)令f(x)=2x2-1=0,得x=. 当-1x0
8、; 当x0. 又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15. 因此，当x-1,3时-f(x)15;6分 要使得不等式f(x)k-1991对于x-1,3恒成立，则k+1991=2020.8分所以，存在最小的正整数k=2020,使不得等式f(x)k-1991对于x-1,3恒成立. (3)(方法1)：|f(sin)+f(cosx)|=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1|=|sinx+cosx|-sinxcosx-|=|sinx+cosx|3=|3.11分又t0,t+2f(t+)(t2+)-2.综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|2f(t+)(xR,t0).14分(方法2)由(2)知，函数f(x)在-1,-上是增函数；在-,上是减函数；在，1上是增函数；又f(-1)=,f所以，当x-1,1时，-f(x),即|f(x)|.sinx,cosx-1,1,|f(sinx)| ,|f(cosx)|.|f(sinx)+f(cosx)| |f(sinx)|+|f(cosx)| +11分又t0.t+且函数f(x)在1，+上是增函数.2f(t+)2f()=2()3-=.综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|2f(t+)(xR,t0).
