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1、命题预测 三角函数是中学数学中一种重要的函数 它的定义和性质涉及的知识面较广 并且有许多独特的表现形式 所以它是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容 从近几年的高考试题看 三角函数的题量一般为1 2道选择题 1道解答题 约占全卷总分的12 多为中档偏易题 命题的特点体现在 1 考小题 重在基础 有关三角函数的小题 其考查的重点在于基础知识 解析式 图象及图象变换 两域 定义域 值域 四性 单调性 奇偶性 对称性 周期性 反函数及简单的三角变换 求值 化简 大小比较 但对解题的合理性 灵活性有较高的要求 通过多个知识点的和谐组合 使各层次的考生思维的取向有所差异 2 考大题 难度明显降低 有
2、关三角函数的解答题 通过三角公式变形和转换来考查思维能力的题目已经没有了 而是考查基本知识 基本技能和基本方法 经常涉及的知识有 利用三角公式进行化简 求值 恒等变形 求最小正周期 求最大值 最小值 求单调区间 考三角变换 即平移变换 伸缩变换 考图象和性质 不仅考查图象 还需根据图象识别出函数的性质 求函数的解析式 3 考应用 融入三角形之中 这种题型既能考查解三角形的知识与方法 又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能 故近年来备受命题者的青睐 4 考综合 体现三角的工具作用 由于近年高考命题突出以提高能力为立意 加强对知识综合性和应用性的考查 故常常在知识的交汇处命题 因而三角知识总是与立
3、体几何 解析几何 导数等综合在一起进行考查 总之 三角试题大都来源于课本中的例题 习题的变形 因此 复习时应 立足于课本 着眼于提高 备考指南 复习建议 充分利用数形结合的思想 把图象和性质结合起来 即利用图象的直观性去得出函数的性质 或由三角函数线获得函数的性质 同时也要利用函数的性质来描绘函数的图象 这样既有利于掌握函数的图象和性质 又能提高学生的数形结合能力 要立足于教材 弄清公式的来龙去脉 运用条件 掌握基本的三角变换 要注意对公式的正用 逆用 变形应用的训练 以增强变换的意识 同时 要归纳解题思路及解题规律 如在三角函数求值问题中 一般是用基本公式 把未知角变换为已知角来解 在求最值
4、 周期问题中 其思路是合理运用公式把已知表达式化为一个角的一种三角函数式来求解 由于高考对三角变换的考查有下降的趋势 因此复习时选题不易太难 有特别技巧的题不要做 本章试题多以选择题 填空题的形式出现 因此复习中要重视选择题 填空题的一些特殊解题方法 如 数形结合法 代入检验法 特殊值法 待定系数法 排除法等 另外 在求有关三角函数的最值问题时 有时可用换元法将问题转化为一元二次函数的最值来解决 这也是常用的思想方法之一 三角函数是以角为自变量的函数 又是以实数为自变量的函数 所以 复习时要注意函数思想的应用 新教材在本章加以实习作业 突出了应用问题的地位 今后的高考会有所体现 而对三角的综合
5、考查将向三角形问题中伸展 故应注意这方面的训练 基础知识一 任意角1 角的分类任意角可按角的旋转方向分为 2 终边相同的角的集合与角 终边相同的角连同角 在内构成的角的集合为 正角 负角 零角 k 360 k Z 3 象限角 4 终边在坐标轴上的角 k k Z 二 角度与弧度的转换公式 1rad 1 rad 三 三角函数的定义及符号1 定义P x y 为角 的终边上一点 OP 则sin cos tan cot sec csc 180 57 18 四 三角函数线设角 的终边与单位圆交于P点 过P作x轴的垂线 垂足为M 过A 1 0 作单位圆的切线与角 的终边或其反向延长线段交于T点 原点为O 则
6、有向线段MP叫角 的 OM叫 AT叫 统称为 若0 则sin tan 正弦线 余弦线 正切线 三角函 数线 易错知识一 角度与弧度混淆引入弧度制后 角的表示要么采用弧度制 要么采用角度制 两者不可混用 如 2k 60 或 k 360 等都不对 二 不讨论产生的混淆1 已知角 的终边在直线y 2x上 求角 的四个三角函数值 三 角的概念混淆2 下列各命题中正确的是 A 终边相同的角一定相等B 第一象限角都是锐角C 锐角都是第一象限角D 小于90 的角都是锐角答案 C 四 函数的定义域4 函数y 的定义域为 答案 x x k 且x k x R 五 三角函数的定义5 已知 是第三象限角 则sin c
7、os 0 cos sin 0 填 答案 六 不理解 同角 的含义与角的表达式的形式无关6 sin22 cos22 sin22010 cos22010 答案 11 回归教材1 在集合 360 1440 中与 21 16 的终边相同的角的个数为 A 1B 2C 3D 4解析 设与 21 16 终边相同的角为 则 k 360 21 16 又360 1440 k 2或3或4 故选C答案 C 2 教材P239题改编 若sin 0且tan 0 则 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角答案 C 3 教材P221题改编 若点P在角的终边上 且 OP 2 则点P的坐标是 解析 设点P x
8、 y 则x OP cos120 2 1 y OP sin120 答案 D 4 弧长为3 圆心角为135 的扇形半径为 面积为 答案 46 例1 设角 1 570 2 750 1 2 1 将 1 2用弧度制表示出来 并指出它们各自所在的象限 2 将 1 2用角度制表示出来 并在 720 0 之间找出与它们有相同终边的所有角 解析 本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角的表示方法 1 180 rad 1在第二象限 2在第一象限 设 k 360 1 k Z 由 720 0 720 k 360 108 0 k 2或k 1 在 720 0 之间与 1有相同终边的角是 612 和 252 同理 2 42
9、0 且在 720 0 间与 2有相同终边的角是 60 总结评述 迅速进行角度和弧度的互化 准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功 涉及到角度和弧度互化关系和终边相同角的问题 基本公式360 2 rad在解题中起关键作用 若要确定一个绝对值较大的角所在的象限 一般是先将角化成2k 0 2 k Z 的形式 然后再根据 所在的象限予以判断 这里要特别注意是 的偶数倍 而不是 的整数倍 若要求出在某一指定范围内的某种特殊的角 通常可象本例一样化为解不等式去求出对应的k值 已知 1998 1 把 写成2k k Z 0 2 的形式 2 求与 终边相同的角 且 2 0 解析 1 由题意 角度制应
10、转换成弧度制 1998 6 360 162 12 在这里k 6 2 由于角 终边与角终边相同 即求与角终边相同的角 令 2k k Z 且 2 0 可得 例2 已知 是第二象限的角 1 指出所在的象限 并用图形表示其变化范围 2 若 同时满足条件 2 4 求 的取值区间 解析 1 解法一 依题意 2k 2k k Z 所以k 若k为偶数 则是第一象限的角 若k为奇数 则是第三象限的角 其变化范围如图中阴影部分所示 不含边界 解法二 将单位圆平均分成2 4 8份 如图 按一 二 三 四且是逆时针顺序标号 得到的 二 所在的阴影部分所示的象限 就是的所在象限 即为第一 三象限角 2 因为 2 4 所以
11、 6 2 即 2k 2k 6 2 由图可知 总结评述 1 除象限角 终边相同的角以外 还要注意理解区间角的概念 并能掌握好 角的取值范围与2 角的取值范围间的相互关系 2 利用终边相同角的表示 可以由角 所在的象限 判断等所在的象限 1 方法一 范围限定法 将 的范围用式子表示出来 然后求出等角的范围 根据此范围进行判断 此时需要进行分类讨论 2 方法二 图示法 把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分 三等分 四等分 从x轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上1 2 3 4 1 2 3 4 是第几象限角就找数字几 其对应的位置就是 所在的象限 已知 为第三象限角 试判断 1 2 分别是第几象限角
12、 解析 为第三象限角 2k 2k k Z 1 2 4k 2 3 4k 2 是第一象限或第二象限的角或角的终边在y轴的非负半轴上 则是第四象限角 是第二象限角或第四象限角 2 方法1 由 1 知 若是第二象限角 例3 已知sin2 0 且 cos cos 问点P tan sec 在第几象限 分析 解答 方法一 由sin2 0 得2k 2 2k 2 k Z 即k k k Z 当k为奇数时 的终边在第四象限 当k为偶数时 的终边在第二象限 又因cos 0 所以 的终边在左半坐标平面 包括y轴 所以 的终边在第二象限 则tan 0 sec 0 点P在第三象限 方法二 由sin2 2sin cos 0
13、所以 为第二象限角 tan 0 sec 0 点P在第三象限 2011 高考原创题 点P sin2011 tan2011 在 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角解析 sin2011 sin 5 360 211 sin211 sin31 0 位于第二象限 答案 B 解答下列问题 1 若 在第四象限 试判断sin cos cos sin 的符号 2 若tan cos cot sin 0 试指出 所在象限 解析 1 在第四象限 sin cos 0 cos sin 0 sin cos cos sin 0 为第一或第三象限角 反思归纳 运用正弦 余弦 正切函数在各象限的函数值符号法则
14、 确定所给函数的函数值符号或通过函数值符号确定角变量的取值范围 例4 1 一个半径为r的扇形 若它的周长等于弧所在的半圆的长 那么扇形的圆心角是多少孤度 扇形的面积是多少 2 已知一扇形的周长为c c 0 当扇形的中心角为多大时 它有最大的面积 解析 1 设扇形的圆心角是 弧度 则扇形的弧长是r 扇形的周长是2r r 由题意可知2r r r 2 弧度 2 设扇形的半径为r 中心角为 弧度 扇形的面积为S 则c 2r r 对此函数 求最值有如下三种方法 方法一 考虑到运用判别式法求分式函数的最值 则有2S 2 8S c2 8S 0 又 有实数解 8S c2 2 4 2S 8S 0 即S 将S 代
15、入上述方程 得 2 4 4 0 解得 2 当扇形中心角 2弧度时 扇形有最大面积Smax 方法二 若考虑到运用均值不等式 则有S 当且仅当2r r 即 2时 取 当且仅当 2时取 总结评述 本题主要考查弧度与角度的换算 弧长公式及扇形面积计算公式 2 中运用了三种不同方法求得面积的最大值 请读者比较三种解法的优劣 体会不同解题思路的形成过程 从而优化解题结构 已知扇形OAB的中心角为4弧度 其面积为2cm2 求扇形周长和弦AB的长 解析 设的长为l OA r 由 得r 1 l 4 扇形的周长为l 2r 4 2 1 6 cm 如图 作OH AB于H 则AB 2AH 2rsin 2rsin 2 2sin2 cm 1 本节概念较多 需注意各自特点和表示法 例如 第一象限角 锐角 小于90 的角是概念不同的三类角 2 角度制与弧度制可利用180 rad进行互化 在同一个式子中 采用的度量制必须一致 不可混用 3 注意熟记0 360 角特殊角的弧度表示及三角函数值 请同学们认真完成课后强化作业
