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1、福建省厦门市双十中学2020届上学期高三数学理科第二次月考试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1设集合，则（ ）A B C D2设集合A=x0x2，B=y1y2，下列图中能表示从集合A到集合B的映射的是（ ）3 若函数f（x）是奇函数，且方程f（x）= 0有三个根x1、x2、x3，则x1 + x2 + x3的值为（ ） A1B0C3D不确定4“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ）A B C D6 由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p
2、且q”为假，“非p”为真的是（ ）Ap：3是偶数，q：4是奇数Bp：Q R，q：N=正整数Cp：aa,b q：a a,bDp：3+2=6，q：537数列满足: , 且对任意正整数都有, 则（ ）A B C D 8圆心在直线上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ）ABCD 9设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，其中一点为P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 10定义在R上的偶函数满足，且时, 则 的值为（ ）A B C D 11函数图象如右所示，则的单调减区间是（ ）A B C D12已知函数，则不等式的解集为（ ）A(3,2)
3、 B(2,3) C(1,6) D(6,1)二、填空题（每题4分，共16分）13在中. 若 ，则 等于 14已知定义在R上的函数f(x)，满足则f(10)= 15如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;16直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数：f(x)=sinx；f(x)=(x1)2+3；，其中是一阶格点函数的有 . (填上所有满足题意的序号)三、解答题17（本题12分）已知 （1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在上的值域.18（本题12
4、分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，英才又银行吸收的存款能全部放贷出去. （1）若存款的利率为，试写出存款量及银行应支付给储户的利息； （2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？19（本题12分）已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； （2）求过点P且与椭圆相切的切线L的方程.20(本题12分)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点 （1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明
5、理由21（本题12分）已知函数, 数列满足: , , (1)求证： ; (2) 求证： .22（本题14分）已知在（1，1）上有定义，=1，且满足定义数列： （1）证明：在（1，1）上为奇函数； （2）求证是等比数列，并求出其通项公式； （3）是否存在自然数m，使得对于任意 成立？若存在，求出m的最小值. 参考答案一、选择题：BDBAA DAADC CA二、填空题：1200； 2； 35； .3解：依题意，其中一个根一定是0，而另外两根根一定是关于原点对称分布，所以x1 + x2 + x3=0，选B 4解：当a=1时，其图如右，当然在上增函数，另：函数的增区间为，依题意可知，即.5A6解：依题
6、意可知，p为假且q为真，选D. 7解：对任意正整数都有，令m=1，则，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以-无穷递缩等比数列.8解：与两坐标轴都相切，则圆心到两坐标轴的距离相等，则圆心在y=x或上，又圆心在，所以圆心为与的交点，即(-1,1)，半径为1，所求圆方程为.9解1：不妨设点P在 x轴上方，坐标为,F1PF2为等腰直角三角形|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e是解2：如图|PF2|=|F1F2|=2c,，由椭圆的定义得：10解1：思路把“不在已知区间上”的自变量通过“性质”转化为在“已知区间上的自变量”进行计算.，且f(-x)=f(x)，所以，所以f(x)的周期T=
7、，=（注：函数有两个对称性可推出有周期性，我们可借助特殊函数y=sinx进行记忆）解2：即使我们不知道表示什么，我们也可以做，.11解：本题是已知外函数的单调区间，求复合函数的单调区间，依题意设在时为减，由图可知，欲使.选C 12 解：从“具体函数”中主动地研究这个函数的“抽象性质”-奇偶性、单调性. 定义域为R，所以f(x)为奇函数；，所以f(x)是R上的单调递增函数.因此 选A13解：14解1：穷举法：得f(4)=-f(2)=-2,f(6)=-f(4)=2,f(8)=-f(6)=-2,f(10)=-f(8)=2解法2：由题可发现自变量都是正整数，所以可以用数列的观点解决：即是偶数项成等比的
8、等比数列，则，注：本题容易将通项写成（这是不正确的）；表示原数列的第2k项=也表示偶数列的第k项.解法3：所以f(x)的周期为4，所以f(10)=f(2)本题如果改为求f(1000)，那就必须用解法2了.所以 求f(1000)有两种可能性，一种是研究周期性，而另一种则是研究“数列”的通项.15解：依题（如图）可知，恰好关于y轴对称又=7=3516y=sinx的值域为-1，1，所以格点的纵坐标只能是-1，0，1，除（0，0）点外，其他的横坐标都不是整数f(x)=(x1)2+3；除了横坐标为1时，纵坐标是整数外，其他横坐标为整数时，纵坐标都是无理数.（0，1），（-1，3）有无数多个格点.，除了横
9、坐标为1时，纵坐标是0外，其他横坐标为整数时，纵坐标都是无理数.17解：（1） -4分所以的周期为-6分 （2）设所以,所以函数f(x)的值域为-12分（区间的“开”和“闭”不正确扣2分）18解：（1）由题意，存款量，银行应支付的利息4分 （2）设银行可获收益为y，则 6分解得9分又当内单调递增，在（0.032，0.048）单调递减. 故当时，y在（0，0.048）内取得极大值，亦即最大值.答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益.12分19解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(ab0),其半焦距c=6，,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆方程为-6分 （2）解法1：依题意可知经过P的
10、切线斜率必存在，所以设切线方程为：-7分-8分 化简得：，- -10分所以切线方程为：x+2y-9=0 -12分 解2：求以曲线上的点为切点的切线方程可用导数解决.因为P在第一象限， -8分，所以.所以切线方程：x+2y-9=0 -12分20证明：（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2).当直线l的斜率下存在时,L：x=3,此时L与抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3-2分当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x3),其中k0. 得 -4分又x1=y, x2=y, =x1x2+y1y2=3.综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,
11、0),那么=3”是真命题. -6分或者设直线为x=my+3那么就不必讨论斜率是否存在 (2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).-8分例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y=(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.- -10分该命题是假命题.- -12分说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=6.或y1y2=2,如果y1y2=6.,可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).21证明: （1）先用数学归纳法证明，1,2,3, 当n=1时,由已知显然结论成立.-1分 假设当n=k时结论成立,即.-2分因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在0,1上连续,从而.故n=k+1时,结论成立.- -5分由，可知，对一切正整数都成立. -6分 （2）要证：在时成立.所以构造函数，证明在上时恒成立.（下求的最小值）设函数，-8分从而-（*） -9分由（1）知，当时，所以所以所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在0,1上连续,且g (0)=0,所以当时，g (
