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1、华北水利水电学院毕业论文 1 目录 摘要 2 Abstract 3 第一章前言 4 第 1 1 节 研究依据和意义 4 第 1 2 节 研究方法及预期成果 4 第 1 3 节 国内外研究现状 5 第二章一般的平面坐标变换 6 第 2 1 节 二重积分的变量代换定理 1 6 第 2 2 节 二重积分变量代换的可行性和有效性 8 第 2 3 节 二重积分中常见的几种变量代换 8 2 3 1 平移变换 3 8 2 3 2 极坐标变换 9 2 3 3 广义极坐标变换 13 第 2 4 节 变换式的选择 15 第 2 5 节 本章小结 18 第三章一般的空间坐标变换 19 第 3 1 节 空间坐标变换定
2、理 1 19 第 3 2 节 三重积分变量代换的可行性和有效性以及选择 21 第 3 3 节 三重积分中常见的几种变量代换 23 3 3 1 柱坐标变换 24 3 3 2 广义柱坐标变换 6 28 3 3 3 球坐标坐标变换 29 3 3 4 广义球坐标坐标变换 6 32 第 3 4 节 本章小结 34 第四章n维空间坐标变换 36 第 4 1 节引言 36 第 4 2 节一般n维空间坐标变换定理 11 37 第 4 3 节n维空间中坐标变换的应用举例 40 参 考 文 献 43 附录 55 华北水利水电学院毕业论文 2 重积分中的变量代换 摘要 大学数学和高中数学相比最主要的不同就是多了微积
3、分 而微积分中最主要的难 点就是重积分的计算 对本科生而言 经常遇到的是二重积分和三重积分的计算 我 们首先学习和熟练掌握了不定积分和定积分的计算 为重积分的学习打下了基础 在 重积分的学习中 我们知道重积分的计算是化为累次积分来计算的 然而被积函数的 形式和积分区域的复杂性并不是所有的重积分都能在直角坐标系中化为累次积分顺 利求解 有的甚至根本不能求解 而解决这些困难的方法主要是引入新的变量 采用 合适的变量代换去简化被积函数或者积分区域来达到求解重积分的目的 本文主要针 对我个人以及大家在学习中的疑难点 从二重积分到三重积分再到n重积分进行详细 的论述 第二章和第三章中 主要介绍平面坐标变
4、换和空间坐标变换的一般式以及几 种常见的变量代换 从变量代换的可行性和有效性出发 根据被积函数的形式和积分 区域的类型 如何合理地选取相应的坐标变换来简化重积分的计算 最后很自然地类 推到n重积分的变量代换 将变量代换一般化 针对各种不同的类型 我们讨论了不 同变量代换的本质以及几何意义 并通过实际应用 从根本上对变量代换有了更深入 的认识 关键字 重积分 累次积分 变量代换 测度 雅克比行列式 华北水利水电学院毕业论文 3 Abstract The most important differenceisthe calculus the high school mathematics and
5、university mathematics However the main difficultyincalculusisthe calculationof multiple integral For undergraduate students the calculation of double integrals and triple integralsisoften encountered We learn and master the calculation of the indefinite integral and definite integral at first to la
6、y the foundation for the learningofthe multiple integral In the learning of the multiple integral we know that the calculationofthe multiple integralis turned into the repeated integral However notallthe multiple integral can be turned into the repeated integral in the rectangular coordinate system
7、successfully as the form of the integrand and the complexityofthe integration region even some could not be solved in the rectangular coordinate system One ofthe methods to solve these difficultiesisto introduce new variables byusing the appropriate variable substitution to simplify the integrand or
8、 the integral region we can achieve the purpose of solving the double integral This paper for my personal aswellas other people in the difficult learning double integrals triple integrals and the n lay integralswillbe discussed in detail In ChaptersII and III we introduce the general type of plane c
9、oordinate transformation and space coordinate transformation aswellas several common variable substitution starting from the feasibility and validity of the variable substitution according to the form of the integrand and the types of the integral region then discuss how to select the appropriate co
10、ordinate transformation to simplify the calculation of multiple integral Finally wewill generalize variable substitution byanalogy to the variable substitution of n lay integrals naturally According to various different types we discuss the essenceofdifferent variable substitutions and geometric mea
11、ning and the practical application Finally we get a deeper understandingofthe variable substitution fundamentally keykeykeykey wordswordswordswords multiple integral repeated integral variable substitution measure jacobian determinant 华北水利水电学院毕业论文 4 第一章前言 第 1 1 节 研究依据和意义 数学是一门工具学科 大学数学里最主要是增加了微积分 而多
12、元函数微积分在 我们大多数人看来并不是那么好学 微分在我们高中时就已学过 因此我们对多元函 数的微分应该不算太生疏 而多元函数积分学对我们很大一部分人来说是一大难点 在多元函数积分学中 重积分的计算是其主要内容 我们知道重积分的计算最终都是 化为多次单积分来计算 而事实上即使有的重积分可以化为多次单积分 但是要明确 计算出重积分色的数值一般来说也会有很大困难 为了化简为易 我们在重积分计算 中可以采用化归的思想引入新的变量而进行坐标变换 用新的变量计算重积分 达到 简化计算的目的 也即重积分坐标变换的目的是把不能直接化成累次积分的变为可化 的 或者把计算复杂的变为较为简单的 因此它在理论和实践
13、中都有着重要的意义 从 理论上来讲 变量代换只不过是改变分划 实际应用时选择要用代换有着很大的随意 性 有一定的难度 它要兼顾被积函数和积分区域的特点 总之一句话 采用合理的变量代换是化简复杂重积分的一个大方向 然而在实 际学习中 针对不同类型的复杂积分 我们采取什么样的变量代换 怎么去选取变量 代换 选取的代换是否是可行的 有效的以及什么样的代换才是合理的简便的 对初 学者来说这些都需要从实践中慢慢体会 这就是本文研究的意义所在 举一个不太恰 当的例子 这就像一位习武之人机缘巧合下无意之中学会了某种绝世武功的内功心 法 然而实战经验不足 而发挥不出该绝世武功的最高境界一样 第 1 2 节 研
14、究方法及预期成果 一一主要研究方法主要研究方法 通过查找 收集 整理资料 认真细致阅读相关参考文献 借助所学数学知识和 理论 尤其是数学分析方面极限理论 微积分理论 并运用化归和归纳类推的数学思 想对重积分中变量代换的相关理论和应用做出研究 最后对各种变量代换的特点及适 用范围做出归纳整理 华北水利水电学院毕业论文 5 二二预期成果预期成果 重积分的坐标变换是一个难点 它涉及到变量换公式的选择 积分区域一一变换 的判断以及积分限的确定等三个问题 学生对此如何应用很难把握 所以本文通过对 变量代换在重积分中的重要作用和具体应用的研究 使大家了解坐标变换的本质以及 从如何选择变换式入手 从中寻找一
15、些变换的规律和可行的判断积分区域一一变换的 方法 坐标变换的本质问题 是把不能直接化成累次积分的变为可化的 或者把计算复 杂的变为较为简单的 本文从我们经常遇到的一些坐标变换出发 逐步推广到n重积 分坐标变换 来详细解说坐标变换的一些问题 第 1 3 节 国内外研究现状 关于重积分中的变量替换 国内外许多专家和学者都有自己的见解和研究 他们 中大部分都是从变量代换的某一个角度深入探讨 具体角度有积分区域的简化问题 被积函数的简化问题 积分限的确定 变量代换的选取 变量代换的可行性和有效性 变量代换公式的证明等 这些文章都是从重积分变量代换的某个方面出发去阐述自己 的观点 要么只在二重积分中论述
16、要么在三重积分之中论述 可谓是百家之言 泛而 不精 没有一个系统的阐述 本文主要从变量代换的类型 选择 变量代换的本质 适用对象及其应用予以阐述 先从最简单的二重积分变量代换入手再到三重积分的变 量代换入手最后逐步推广到任意有限维空间的变量代换 华北水利水电学院毕业论文 6 第二章一般的平面坐标变换 二重积分是重积分中最简单的也是最常见的 我们应该先从最简单的二重积分开 始研究 所以本章着重论述二重积分变量代换的一些问题 二重积分的计算是转化为累次积分进行的 即进行两次定积分来求解的 而并不 是所有的二重积分都能直接化为累次积分的 或者即使能够化为累次积分但是使得计 算非常复杂 而对于这样的情况 就需要借助于变量代换的工具来解决问题 这就是 变量代换的必要性 我们通过变量代换想要得到的结果就是使得被积函数得到简化或 者积分区域化为标准区域 1 第 2 1 节 二重积分的变量代换定理 1 若函数 f x y在有界闭区域D上可积 变量代换T xx u v yy u v 将uov平 面内有按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地变换为xoy平面内的区域D 且该函数组在 内分别具有一阶连续偏导
