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1、第二章 平面向量（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于（ ）A.a+b+c B.a-b+cC.a+b-c D.a-b-c2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=+，其中、R，且 + =1，则点C的轨迹方程为（ ）A.3x+2y-11=0 B.（x-1）2+（y-2）2=5C.2x-y=0 D.x+2y-5=03.在ABC中，A
2、B边上的高为CD,若=a, =b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则=( )A. a-b B. a-bC. a-b D. a-b4.已知向量a=(2,1),a b=10,|a+b|=5,则|b|=（ ）A. B. C.5 D.255.设x，yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=（ ）A. B. C.2 D.106.设a=(，tan )，b=(cos ，)，且ab，则锐角的值为（ ）A. B. C. D. 7.点P为ABC所在平面内任一点，且+=，则点P与ABC的位置关系是（ ）A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D
3、.P在AC边上8.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是（ ）A.若ab=0，则a=0或b=0B.若a=0，则=0或a=0C.若a2=b2，则a=b或a=-bD.若ab=ac，则b=c9.设A（a，1）、B（2，b）、C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的射影相同，则a与b满足的关系式为（ ）A.4a-5b=3 B.5a-4b=3C.4a+5b=14 D.5a+4b=1410.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标是（ ）A. （，） B. （，）C. （，）D. （，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线
4、上）11.已知平面上三点A、B、C满足|=3，|=4，|=5，则+的值等于 .12.已知点A（1，-2），若向量与a=（2，3）同向，|=，则点B的坐标为 .13.在ABC中，已知向量与满足( + )=0且 =，则ABC为 三角形.14.若对n个向量a1，a2，an存在n个不全为零的实数k1,k2,kn，使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1,a2,an为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共
5、80分）15.(15分)设a，b，c，dR，用向量方法证明：（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）.16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）= 的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a（3，2），b（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=mb+nc的实数m,n；（2）若（a+kc）(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）(a+b)，且|d-c|1，求向量d.18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t
6、）；来源:来源:（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为 500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|= 4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第二章 平面向量（数学人教B版必修4）答题纸 得分： 一、选择题题号12345678910答案二、填空题11 12 13 14 三、解答题1516.17.18.来源:数理化网19.第二章 平面向量（数学人教B版必修4）答案一、选择题A DO B C1.B 解析：如图，点O到平
7、行四边形三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，结合图形有=+=+=+-=a+c-b.2.D 解析：设=（x，y）,=（3，1）, =（-1，3）, = + , （x，y）=（3，1）+（-1，3）. 又 + =1,与联立可得x+2y-5=0.3.D 解析：利用向量的三角形法则求解.Ca b A D B如图， ab=0， ab， ACB=90， AB=.又CDAB, AC2=ADAB， AD=. =（a-b）=a-b.来源:4.C 解析：a+b2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=50，即5+210+|b|2=50, |b|=5.故选C.5.B 解析：利用平面向量共线和垂直的条
8、件求解. a=（x,1）,b=（1,y）,c=（2,-4）,由ac得ac=0,即2x-4=0, x=2.由bc,得1（-4）-2y=0, y=-2.来源: a=（2,1）,b=（1,-2）. a+b=（3,-1）, |a+b|=.6.B 解析： ab， -tan cos =0，即sin =， =.7.D 解析： +=， +=+=，即=2. A、C、P三点共线，即P在AC边上.8. B 解析：取a=（1，0），b=（0，-1），满足条件ab=0，a2=b2，但不能推得a=0或b=0，a=b或a=-b，故选项A、C均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项D假. 9. A 解析：由数量积的几何意义和
9、与在方向上的射影相同，得=.而=（a，1），=（2，b），=（4，5）， 4a+5=8+5b，即4a-5b=3. 10. A 解析：设b=（x，y），则|b|=|a|=，ab=|a|b|cos=，即x2+y2=5，x+2y=，解得x=，y=（舍去x=，y=）.故b=（，）.二、填空题11.-25 解析：| |2+|2=|2， ABC为直角三角形，ABBC，cos A=，cos C=.原式=340+45()+53()=.12.（5，4） 解析：设=（x，y）， 与a同向， =a（0），即（x，y）=（2，3）. 又|=2， x2+y2=52. 42+92=52，解得=2（负值舍去）. 点B的坐标
10、为（5，4）.13.等边 解析：设BAC的角平分线为AD，则 + =.由已知ADBC, ABC为等腰三角形.又cos A=, A=60, ABC为等边三角形.14.只要写出-4c,2c,c(c0)中一组即可，如-4，2，1等解析：由k1a1+k2a2+k3a30得 k1=-4c,k2=2c,k3=c(c0).三、解答题15.证明：引入向量a=（a，b），b=（c，d）.设向量a、b的夹角为，则（ac+bd）2=（ab）2=（|a|b|cos ）2（|a|b|）2=（a2+b2）（c2+d2）.16.解：引入向量a=（x+a，b），b=（c-x，d），则原函数变为f（x）=|a|+|b|. f（
11、x）=|a|+|b|a+b|=. 函数f（x）的最小值为.17.解：（1）因为a=mb+nc,所以（3，2）（-m+4n,2m+n）,所以（2）因为（a+kc）(2b-a),又a+ k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2（3+4k）+5（2+k）0，即k=-.（3）因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又（d-c）(a+b),|d-c|=1，所以所以d=（）,或d=（）.18.解：（1） ab， ab=0.又xy， xy=0，即a+（t-3）b（-ka+tb）=0，-ka2-k（t-3）ab+tab+t（t-3）b2=0.将|a|=2，|b|=1代入上式得-4k+t2-3t=0，即k=f（t）=（t2-3t）.（2）由（1）知k=f（t）=（t2-3t）=（t-）2, 当t=时，k最小=.v1 vA v219.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v1|2=| v |2+| v 2|2，得| v|= =9.2（km/h）. cos（-）=， -，即=114，时间t=（h）,即约3.3 min.答：v1与v 2的夹角约为114时船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3.3 min.
