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1、 第3课时 定积分的概念及微积分基本定理【基础过关】1用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为、.2.定积分的定义如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点作和式。当时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，其中称为，称为，称为，为，为，为， “”称为积分号。3的实质（1）当在区间上大于0时，表示；（2）当在区间上小于0时，表示；（3）当在区间上有正有负时，表示；4定积分的性质根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质：（1）（为常数）；（2）；（3）（其中）。5微积分基本定理一般地，如果是闭区
2、间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，可以把记作，即。【特别提醒】1定积分的值只与被积函数及被积区间有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分是一个常数，当被积函数及被积区间给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间的分法和的取法外，也不依赖于中的积分变量，即。2由积分符号可知，积分变量的变化范围是.3定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程。4运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充
3、分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解。【基础训练】1设，则的值等于（ ）.A. B. C. D.2 下列值等于1的积分是（ ） A. B. C. D. 3由曲线所围成的曲边梯形的面积为（ ）.A. B. C. D.4 5利用定积分的几何意义求 . 【典型例题】例1利用定积分的定义计算由抛物线，两直线以及轴所围成图形的面积。剖析由定积分的几何知所求的面积就是在闭区间的定积分，因此利用定积分的定义可以加以求解。解由定积分的几何意义，知所求的面积为将区间等分：，其中而。在每个小区间上取右端点，得和式从而警示根据定义求定积分的步骤为：（1）分割；（2）近似替代；（3）求和；（4）求出极限值。当用定义
4、求定积分时，由于定义的两种任意性对积分区间作特殊的分割和取特殊的点（如取子区间的端点），然后再作出相应的积分和式，最后再求极限，但是对于较复杂的函数来说，用定义进行求解是相当困难的，所以对于三次以上的函数求定积分问题很少使用.变式训练1.利用定积分的定义求的值。例2计算下列定积分（1）；（2）（3）剖析求出被积函数的原函数，用微积分基本定理进行求解，计算的关键是找到满足的函数.其中可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到。解 （1）且，（2），又，得所以（3）由，得所以警示计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定
5、积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值。变式训练：2计算下列定积分（1）；（2）例3计算下列定积分（1）；（2）剖析对于第（1）小题，应对在区间上的正负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0x2的条件下，对的正、负情况进行讨论。解（1），（2）0x2，于是警示当被积函数含有绝对值（或平方根）时，须按绝对值内的正负号将定积分区间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分段函数时，也须按函数的定义的分段情形相应的逐段积分。变式训练3计算下列定积分（1）；（2）
6、 例4利用定积分的几何意义求下列定积分（1）；（2）剖析题目要求利用定积分的几何意义进行求解，只需画出相应的图形，借助形平面图形求解。解（1）由于时定义在上的偶函数，从而，而的几何意义是单位圆的面积，所以，从而所求的定积分.（2）由于被积函数是定义在闭区间上的奇函数，所以所求定积分0.警示定积分的几何意义非常重要，函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：设函数在闭区间上连续，则（1）若是偶函数，则；（2）若是奇函数，则.变式训练4利用定积分的几何意义求定积分例5（2020年山东德州）若函数且，求函数的解析式。剖析由题设条件列出关于的方程组
7、进行求解，即可得结论。解由题意知又由知联立，解得：，从而所求的函数的解析式为。警示类似于此种类型的题目，应先根据题设条件求出定积分的值，将问题转化为关于的方程组，再进行求解。变式训练5设且，求的取值范围。例6(2020年湖南卷改编)函数的图象与直线及所围成图形的面积称为函数在闭区间上的面积。（1）分别计算在闭区间，在闭区间，在闭区间上的面积，并归纳猜想出一个一般性的结论，并加以证明。（2）利用你所猜想的结论解决下述两题：求函数在闭区间上的面积；求函数在闭区间上的面积。剖析利用定积分的几何意义不难求解第（1）小题，第（2）小题是借助于第（1）小题的结论或在第（1）小题的基础上平移得到。解（1）根
8、据题意得在闭区间的面积为：在闭区间的面积为：在闭区间上的面积为：由此可以猜想：在闭区间上的面积为.证明如下：（2）画出在闭区间上的图象（如图所示），可知两阴影部分的是对称的，阴影部分的面积相等地，从而有即在闭区间上的面积为画出函数在闭区间上的的图象，由图观察可知阴影1,2，3的面积相等，从而.即函数在闭区间上的面积为警示本题把定积分的几何意义引入高考题中，利用新的结论解决新的问题，解决本题的关键在于运用类比思想、数形结合思想求面积。变式训练【课后作业】1若G(x)和F(x)的导数都是f(x)，则（） AG(x)-F(x)=C BG(x)+F(x)=C CG(x)-F(x)=0 D以上答案都不对2（2020年山东潍坊）（）A0BCD3设a0，a1，若，则a等于（）A B C D4（2020年广东潮州）已知为偶函数且，则（）A0B4C8D165的值等于 （ ） (B) (C) (D) 6（2020年广东汕头） 7使成立的所有可以表示为8（2020年山东潍坊）汽车从A处起以速度（其中均为正的常数）开始减速度行驶，至B点停止，则A、B之间的距离9由及围成平面图形的面积，若选为积分变量，利用定积分应表达为 ；若选为积分变量，利用定积分应表达为 .10求下列定积分的值（1）；（2）；11.已知，求的最大值。12. 设是一次函数，且，求证：
