《江苏省南师大附校2020高三数学一轮复习教学案：第3课时函数的单调性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南师大附校2020高三数学一轮复习教学案：第3课时函数的单调性（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时 函数的单调性【基础过关】一、单调性1定义：如果函数yf (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1、x2时，都有 ，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；都有 ，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .2判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为： ； ； .(2) 导数法，若函数yf (x)在定义域内的某个区间上可导，若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；若 ，则f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1若f (x), g
2、(x)均为增(减)函数，则f (x)g(x) 函数；2若f (x)为增(减)函数，则f (x)为 ；3互为反函数的两个函数有 的单调性；4复合函数yf g(x)是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f g(x)为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f g(x)为 .5奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .【典型例题】例1. 已知函数f(x)=ax+ (a1)，证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数. 证明 方法一 任取x1,x2(-1,+),不妨设x1x2,则x2-x10, 1且0, ，又x1+10,x2+10, 0, 于是f(x2)-f
3、(x1)=+0,故函数f(x)在（-1,+）上为增函数. 方法二 f(x)=ax+1-(a1), 求导数得=axlna+,a1,当x-1时，axlna0,0, 0在（-1，+）上恒成立，则f(x)在（-1,+）上为增函数. 方法三 a1,y=ax为增函数， 又y=，在（-1，+）上也是增函数. y=ax+在（-1，+）上为增函数.变式训练1：讨论函数f（x）=x+（a0）的单调性. 解：方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+）上的单调性，设x1x20,则 f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)（1-）.当0x2x1时，1, 则f（x1）-f（x
4、2）0，即f(x1)f(x2),故f（x）在（0，上是减函数. 当x1x2时，01，则f（x1）-f（x2）0,即f(x1)f(x2), 故f（x）在，+）上是增函数.f（x）是奇函数， f（x）分别在（-，-、，+）上为增函数； f（x）分别在-，0）、（0，上为减函数. 方法二 由=1-=0可得x=当x或x-时，0f（x）分别在（，+）、（-，-上是增函数. 同理0x或-x0时，0 即f（x）分别在（0，、-，0）上是减函数.例2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性. 解： 函数的定义域为x|x-1或x1, 则f(x)= , 可分解成两个简单函数. f(x)= =x2-1的形式.当x1
5、时，u(x)为增函数，为增函数. f（x）=在1，+)上为增函数.当x-1时，u（x)为减函数，为减函数， f(x)=在（-,-1上为减函数. 变式训练2：求函数y=（4x-x2）的单调区间. 解： 由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t. t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2. 又y=t在（0，+）上是减函数，函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).例3. 求下列函数的最值与值域： （1）y=4-; (2)y=x+;(3)y=. 解：（1）由3+2x-x20得函数定义域为-1，3
6、，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2. t0，4，0，2，从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为2，4. (2)方法一 函数y=x+是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x0时,即可知x0时的最值. 当x0时,y=x+2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x0时，y-4, 等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-，-44，+），无最值. 方法二 任取x1,x2,且x1x2, 因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)= 所以当x-2或x2时，f(x)递增,当-2x0或0x2时，f(x)递减. 故x=-2时，f(x)最大值
7、=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4, 所以所求函数的值域为（-，-44，+），无最大（小）值. （3）将函数式变形为y=, 可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点. ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=. 显然无最大值.故值域为，+）. 变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为C（x）=50
8、0x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）； （2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？ 解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）=-20x2+2 500x-4 000（x1，100且xN,）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000）=2 480-40x （x1，100且xN）. （2）P（x）=-20(x-2+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 12
9、0（元）. 因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）. 因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值. 例4已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值； （2）判断f(x）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2. 解：（1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. （2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则1,由于当x1时，f(x)0, 所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x
10、1)f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数. （3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 由于函数f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数， 由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集为x|x9或x-9.变式训练4：函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. 解：（1）设x1,x2R，且x1x2, 则x2-x10,f(x2-x1)1. f
11、(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1). 即f(x)是R上的增函数. （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， f（2）=3， 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2), f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m,故解集为（-1,）. 【小结归纳】1证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差变形判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导判断导函数的符号下结论.2确
12、定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.【课后作业】1.在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则 在区间上是增 函数，在区间上是减 函数2.已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)4.函数的单调增区间为 （）5.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是C6.如果奇函数在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么在区间上是 ( )增函数且最小值为 增函数且最大值为减函数且最小值为 减函数且最大值为7.已知是上的减函数，那么的取值范围是() 8.如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围9.求函数的最大值11已知函数判断在区间(0，1和1，+)上的单调性，说明理由12.作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间函数在区间上都有意义，且在此区间上为增函数，；为减函数，.判断在的单调性，并给出证明.
