材料力学辅导课件

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1、考研资料网www K 材料力学 辅导课件 第一部分绪论材料力学的任务 一 研究构件的强度 刚度和稳定 1 强度要求所谓强度 是指构件或材料抵抗破坏的能力 为了保证构件的正常工作 首先要求构件应具有足够的强度 在荷载作用下不发生破坏 2 刚度要求所谓刚度 是指构件抵抗变形的能力 工程中对构件的变形根据不同的工作情况给予一定的限制 使构件在荷载作用下产生的弹性变形控制在一定的范围内 这就是要求构件具有足够的刚度 3 稳定要求所谓稳定要求 就是指承受荷载作用时构件在其原有形状下的平衡应保持为稳定平衡 对于受压杆件要求它在压力作用下不丧失稳定 而具有足够的稳定性 二 研究材料的力学性质材料力学还要通过

2、试验来研究材料在荷载作用下表现的力学性质 并在此基础上为构件选择合适的材料 三 合理解决安全与经济的矛盾在满足强度 刚度及稳定性的条件下 以最经济的代价 为构件确定合理的形状和尺寸 以及为构件选择所适宜的材料 并为设计提供必要的理论依据 第二部分拉伸与压缩 例2一悬挂杆件长l 横截面面积为A 容量为 试求杆件在自重作用下内力沿杆轴的变化并绘出轴力图 例2图 当x l时 为轴力最大处 其值为 设立坐标如图 在任意位置x处截取一段脱离体作为研究对象 根据平衡条件 可得 b 横截面上的应力 N为正时 为拉应力 N为负时 为压应力 式 2 1 的应用 图2 3所示为例2之悬挂杆 其轴力上面已求出 为

3、任意横截面上的应力为 图2 3 当时 即为横截面 此时正应力达最大 其中 横截面上的正应力 m m面上的正应力 m m面上的剪应力 图2 4b 根据强度条件式 2 3 我们可以对构件进行三种不同情况下的强度计算 1 强度校核在已知荷载 构件的截面尺寸和材料的情况下 可对构件的强度进行校核 即 2 截面设计在已知荷载和选定了制造构件所用材料的情况下 可确定构件所需的横截面积 即 1 若P 10KN 校核两杆的强度 2 结该构架的容许荷载 P 3 根据容许荷载 试重新选择杆 的直径 例3钢木构架如图 杆 为钢制圆杆 A1 600mm2 杆 为木杆 A2 10000mm2 例3图 解 1 校核两杆强

4、度 先绘节点B受力图 由静力平衡条件得 节点受力图 两杆强度均满足 2 确定该构架的容许荷载 P 3 由容许荷载 P 40 4KN 设计杆 的直径 当构架在 P 40 4KN作用下 杆 横截面上的应力恰到好处 正好是达到值 对杆 来说 强度仍有余 即杆 的截面还可减小 根据强度条件 三 轴向拉伸 压缩 时的变形计算及刚度条件 2 式 2 4 的应用 b 阶梯杆 各段EA不同 计算总变形 图2 6 总变形 内力 dx段的变形 内力 N P dx段的变形 总变形 e 静定汇交杆的位移计算 以例题说明 例4图示结构由两杆组成 两杆长度均为l B点受垂直荷载P作用 1 杆 为刚性杆 杆 刚度为EA 求

5、节点B的位移 2 杆 杆 刚度均为EA 求节点B的位移 例4图 节点B受力图 解 1 a 绘节点B受力图 并求出两杆内力 由平衡条件可解得 b 绘节点B的位移图 求解节点B的位移 由节点位移图1可得节点B的位移 节点B位移图1 解 2 节点受力图同上 节点位移图2见图 节点B位移图2 由节点位移图2可得节点B的水平及垂直位移分别为 节点B的总位移 节点B位移图2 2 轴向拉 压 杆的刚度条件 和视结构的适用条件而定 四 轴向拉伸 压缩 强度计算和刚度计算小结 见框图 五 拉压超静定问题 注 杆件内力与杆件变形必须相一致 1 简单超静定问题的求解方法 见框图 由节点C受力图 由节点D受力图 2

6、画节点位移图并建立变形几何关系方程 节点位移图 将物理关系代入得 化简后得 3 确定容许荷载 P 及各杆内力 由于三杆材料截面相同 各杆容许轴力相等 联立 1 2 3 式可求得 代入上面 a b c 三式可分别得 将 P 代入 a b c 式可得各杆内力为 解法一 一 绘受力图 列平衡方程 根据实际情况 杆 在C点安装后 杆 受拉 杆 受压 受力图如图示 受力图一 根据平衡条件得 二 绘变形几何关系图如图示 即 根据图可得变形几何关系方程为 变形几何关系图一 三 求解内力和应力 联立 a b 可得 N1的负号表示与假设拉力不符 杆 应是受压力 联立 a b 可解得 三 求解内力和应力 式中 为

7、材料的线膨胀系数 解 一 绘受力图如图示 设二杆均受压 列平衡方程 受力图 二 绘变形几何关系图如图示 由图可列出变形几何关系方程 动画 三 求解内力和应力 联立 1 2 可解得 材料力学 第三部分剪切 设两块钢板有n个铆钉联接 钢板两端受拉力P作用 见图3 1 一 剪切强度计算及挤压强度计算 1 单剪 1 绘铆钉受力图 2 剪切强度条件为 式 3 1 还可计算接头所需的铆钉个数 3 挤压强度计算 计算铆钉个数时 2 双剪 设图示接头有n个铆钉连接 1 绘铆钉受力图 式中 AC1 t1d AC2 t2d 2 剪切强度条件为 如需求铆钉的个数 则 挤压强度条件 二 连接件强度计算实例 在连接件强

8、度计算中 除了要满足连接件的剪切强度和挤压强度外 还必需满足连接件的抗拉强度 例1 图示一铆接接头 已知材料的容许应力分别为 试校核该接头的强度 解 一 绘铆钉受力图 二 铆钉的剪切强度校核 三 挤压强度校核 比较 四 绘主板和盖板的轴力图并进行强度校核 II II截面 I I截面 五 综合各项强度计算的结果可知 该接头的强度是足够的 材料力学 第四部分扭转 一 扭转时的内力及扭矩图 扭转时横截面上的内力以Mn表示 称为扭矩 杆件上各截面上的扭矩如果以图来表示 该图就是扭矩图 下面结合实例来加以说明 由平衡条件可解得各段内力为 负号说明与假设方向相反 二 关于剪应力的一些性质 1 剪应力互等定

9、理 3 的关系 低碳钢 三 圆轴扭转时的应力和强度条件 1 应力 横截面上的剪应力 平面假设 变形前原为平面的横截面 变形后仍保持为平面 两相邻截面只相对转过一角度 但两截面间距离保持不变 由实验观察结果可得出横截面上只有剪应力 剪应力公式推导由下例步骤可导出 a 由圆截面杆扭转变形的几何关系可找出应变的变化规律 b 由应变 应力间的物理关系可找出应力的分布规律 c 根据扭转和应力间的静力平衡关系可导出应力的计算式 2 极惯性矩和抗扭截面的模量 式 4 4 中Ip称为极惯性矩 Wn称为抗扭截面模量 它们均与横截面的形状 尺寸有关 3 剪应力强度条件 四 圆轴扭转时的变形和刚度条件 1 圆轴扭转

10、时的变形计算 式 4 6 4 7 中GIp称为抗扭刚度 单位长度的扭转角 相距为l的两个截面间的扭转角 2 式 4 7 的应用 从中取dx段 dx段两相邻截面的扭转角为 AB截面相对扭转角为 从中取dx段 该段相邻两截面的扭转角为 AB截面相对扭转角为 式中 或 3 扭转时的刚度条件 五 工程中的三类问题 在已知荷载 构件的截面尺寸以及材料的情况下 对构件进行强度 刚度校核 即 1 强度 刚度校核 2 截面设计 在已知荷载和选定了构件所用材料后 可确定构件所需的横截面面积 即 由强度 刚度求得二个面积 取大的面积作为容许使用面积 3 计算容许荷载 在已知构件横截面面积及材料的容许条件下 可确定

11、构件能够承受的荷载 即 由强度 刚度条件所求得的二个荷载 应取小的荷载作为容许荷载 下列框图表示了求解过程 例2图 例2实心圆轴受力如图示 已知材料的试设计轴的直径D 扭矩图 解 一 绘制扭矩图如图 二 由强度条件设计D 解得 三 由刚度条件设计D 从以上计算可知 该轴直径应由刚度条件确定 选用D 102mm 解得 六 矩形截面杆的自由扭转 两式中是与截面尺寸有关的系数 根据的比值可查教材中表4 1 最大剪应力发生在长边中点处 单位长度的扭转角为 当时 为狭长矩形 此时系数 第五部分平面图形的几何性质 一 定义 图5 1 b 组合图形的静矩和形心 式5 4 式5 5中 A1 A2 An 各简单

12、图形的面积 圆截面对形心的极惯矩为 对形心坐标的惯性矩为 空心圆截面对形心的极惯矩为 对形心坐标的惯性矩为 二 平行移轴公式 上面计算式是已知对z y轴 形心轴 的惯性矩和惯性积求对z1 y1轴的惯性矩和惯性积 解 1 在距z轴任意高度y处取狭长条作为微面积 即 2 圆对z轴的惯性矩为 半圆对z轴的惯性矩为 利用平行移轴公式 半圆对形心轴的惯性矩为 例1图 例2试计算图示槽形截面的形心主惯性矩 例2图 Z为对称轴 故为形心主轴 另一条形心主轴必须过形心并与z轴垂直 即图中y轴 2 确定形心主轴 例2图 3 形心主惯矩计算 例2图 例2图 材料力学 第六部分弯曲内力 一 指定截面上的剪力和弯矩

13、解 一 求支座反力 二 C截面的剪力和弯矩 取脱离体图如图a所示 图a 三 B截面的剪力和弯矩 分别取B左截面和B右截面脱离体图如图b c所示 图b 图c 二 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 1 剪力方程和弯矩方程 梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化 如以横坐标表示横截面在梁轴线上的位置 则各横截面上的剪力和弯矩可表示成x的函数 2 剪力图和弯矩图 同拉伸 压缩 扭转一样 我们也可用图来表示梁在各横截面的剪力和弯矩 沿轴线的变化情况 这种图可分别称为剪力图和弯矩图 绘图时 将正号的剪力和弯矩画在x轴的上面 负号的剪力和弯矩画在x轴的下面 下面以实例来加以说明 解 一 求支座反力

14、二 列出各段的剪力方程 弯矩方程 AC段 CB段 三 绘剪力图和弯矩图 由上面的剪力方程和弯矩方程可绘出Q图和M图如图示 故得出结论 在集中力作用处 剪力图上发生突变 突变值的大小等于该集中力的大小 从Q图可看C截面 剪力图在C截面发生一突变 其大小为 解 一 求支座反力 二 列出各段的Q M方程 AC段 CB段 三 绘Q图 M图 由剪力方程和弯矩方程可绘出Q M图如图示 弯矩图在C截面发生一突变 其大小为 由此可得出结论 在集中的偶作用处 弯矩图上发生突变 其突变值等于该集中力偶的大小 对剪力图而言 集中力偶作用的截面并无改变 从M图可看出 在C截面 解 一 求支座反力 距支座A为x处截面上

15、的剪力为 相应位置的弯矩为 二 列出剪力方程和弯矩方程 三 绘Q图和M图 1 由剪力方程可知 Q x 为二次曲线 作Q图 2 由弯矩原方程可知 M x 为三次曲线 作M图 三 分布荷载集度q x 剪力Q x 弯矩M x 三者间的关系 剪力对x的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度 弯矩对x的一阶导数等于梁上相应位置上的剪力 弯矩对x的二阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度 根据上面三个关系式 对正确绘制剪力图和弯矩图有很大帮助 下面来分析一下绘剪力图和弯矩图时常见的几种情况 1 在梁某一段内无荷载作用 2 在梁某一段内作用着均布荷截 3 在梁某一截面上Q x 0 5 对整根梁而言 不但可能发

16、生在Q 0的截面上 也有可能发生在集中力或集中力偶作用处 下面就利用以上关系绘制内力图 二 作剪力图 由于B处有向下集中力P1的作用 Q图上向下有一突变 突变值为P1 10KN 所以B右段面的剪力值为 BC段内无分布荷载 所以BC段的剪力图为一水平线 并从B右一直延伸到C点 由于CD段有向下的均布荷载作用 即q x 2KN m 常数 所以该段Q图为一下降的斜直线 C D两截面的剪力之差等于荷载在该段之和 即 2 2 4KN 所以D左截面的剪力值为 由于A为铰支座 又没有集中力偶作用 所以MA 0 弯矩从零开始在AB段内Q 7KN 0 所以M为一上升斜直线 三 作弯矩图 在BC段内剪力为常数Q 3KN 所以M为一下降斜直线 C左 B两截面弯矩之差等于BC段剪力图的面积 即 C处有集中力偶作用 弯矩图在C处有突变 突变值就是 所以C右截面的弯矩为 在CD段内 由于q x 2KN m 所以M图在该段为一上凸的二次曲线 D C右截面的弯矩之差就等于该段剪力图的面积 即 材料力学 第七部分弯曲应力 一 梁的正应力及强度条件 1 矩形截面梁纯弯曲时 横截面上的正应力 根据上述现象 设想梁内部的变形