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1、第2讲等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 (nN*，d为常数)(2)等差中项数列a，A，b成等差数列的充要条件是 ，其中A叫做a，b的 (3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=.(4)等差数列的前n项和公式: 2等差数列的性质(1)(2)若klmn(k，l，m，nN*)，则(m,n,p,qN*);m+n=2p,则 (m,n,pN*).(2)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列(3)若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d(4)若bn是等差数列，则panqbn
2、也是等差数列(5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1= 3等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列.(2) 当d0时,它是关于n的二次函数.数列an是等差数列Sn=An2+Bn
3、(A,B为常数).1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ()(2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有 ()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ()2.等差数列11，8，5，中49是它的第几项()A第19项B第20项C第21项 D第22项3. 已知p：数列an是等差数列，q：数列an的通项公式ank1nk2(k1，k2均为常
4、数)，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.等差数列an的前n项之和为Sn，若a56，则S9为()A45 B54 C63 D275设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_典例引领等差数列的基本运算(高频考点) 角度一求公差d、项数n或首项a11已知等差数列an中，a513，S535，则公差d()A2 B1 C1 D3(2)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，则n()A5 B6 C7 D8 角度二求通项或特定项1(2020高考全国卷乙)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100
5、 B99 C98 D972.(2020高考全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()ABC10D12 角度三求前n项和1已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_2设Sn为等差数列an的前n项和,则= 等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题 (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法等差数列的性质及最值(1)在等差数列an中
6、，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11()A18 B99 C198 D297(2)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_(3)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_应用等差数列的性质应注意的两点(1)在等差数列an中，若mnpq2k(m、n、p、q、kN*)，则amanapaq2ak是常用的性质(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口 等差数列的判定与证明1.已知数列an中，a12，an2(n2，nN*)设bn
7、(nN*)，求证：数列bn是等差数列2.设数列an的前n项和为Sn，且Sn=-1.数列bn满足b1=2,-2bn=8an.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:数列为等差数列,并求bn的通项公式.巩固练习：1已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D402在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15 BS16 CS15或S16 DS173(2020陕西省五校模拟)等差数列an中，如果 a1a4a739，a3a6a927，则数列an前9项的和为()A297 B144 C99 D664在等差数列an中，a3a5a11a174，且其前n项和为Sn，则S17为()A20 B17C42 D845若两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，则等于_6.在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.*7已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672，若bnan30，设数列bn的前n项和为Tn，求Tn的最小值*8各项均为正数的数列an满足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn为an的前n项和(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式
