山东省2020届高考数学 权威预测 圆锥曲线的定义、性质和方程二 新人教版

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1、2020届山东新课标高考数学权威预测:圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,向量与是共线向量。(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点, F1、F2分别是左、右焦点,求F1QF2的取值范围;解:(1),。是共线向量,b=c,故。(2)设当且仅当时,cos=0,。【例6】设P是双曲线右支上任一点. (1)过点P分别作两渐近线的垂线,垂足分别为E,F,求的值; (2)过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点,且的面积.解:(I)设两渐近线方程为由点到直线的距离公式得 (II)设两渐近线的夹角为,

2、【例7】如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点求双曲线的离心率解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CDy轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称 依题意,记A(c,0),C(,h),B(c,0),其中c为双曲线的半焦距,c=|AB|,h是梯形的高由定比分点坐标公式,得点E的坐标为, 设双曲线的方程为,则离心率由点C、E在双曲线上,得 由式得代入式得所以,离心率 【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为

3、3,最小值为1(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标解:(I)由题意设椭圆的标准方程为,由已知得:,椭圆的标准方程为()设,联立 得,又,因为以为直径的圆过椭圆的右顶点,即, ,解得:,且均满足,当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;当时,的方程为,直线过定点所以,直线过定点,定点坐标为自我提升1.已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是(C )(A)2 (B)6 (C)4 (D)122如

4、果双曲线的两个焦点分别为、,一条渐近线方程为,那么它的两条准线间的距离是( C )A B C D 3抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( B) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 04双曲线的虚轴长为4,离心率,F1、F2分别是它的左,右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A).A、 B、 C、 D、85已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 6过椭圆左焦点F,倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心

5、率为( B )(A) (B) (C) (D)7椭圆+=1的离心率e=,则m=_m=8或2。8 F1、F2是椭圆(ab0)的两焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2,其中BAF2=900,则椭圆的离心率是_9已知椭圆E的离心率为e,左、右焦点为F1、F2,抛物线C以F2为焦点,F1为其顶点,若P为两曲线的公共点,且e|PF2|=|PF1|,则e_。10如图,已知三点A(7, 0),B(7,0),C(2,12). 若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程; 若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。解析:由椭圆定义知,|AP|AC|BP

6、|BC|,即故P的轨迹为A(7,0)、B(7,0)为焦点实轴长为2的双曲线的一支,其方程为; 经讨论知,无论A在双曲线的哪一支上, 总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故点Q的轨迹为以A(7,0)、B(7,0)为焦点长轴长为28的椭圆,其方程为。11如图,A为椭圆上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2当AC垂直于x轴 时,恰好|AF1|:|AF2=3:1(I)求该椭圆的离心率;xyABCOF1F2(II)设,试判断l1+l2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由解:(I)当C垂直于x轴时,由,得,在Rt中,解得 =(II)由=,则,焦点坐标为,则椭圆方程为,化简有

7、设,若直线AC的斜率存在,则直线AC方程为代入椭圆方程有由韦达定理得:, 所以,同理可得故l1+l2= 若直线轴, l1+l26 综上所述:l1+l2是定值612已知椭圆(ab0)上两点A、B,直线上有两点C、D,且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0,求椭圆方程和直线的方程。解:圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O(0,1),半径r=3。 设正方形的边长为p,则,又O是正方形ABCD的中心,O到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即,由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。 (1)设AB:y=x-2 由 y=x-2 CD:y=x+4 x2+y2-2y-8=0 得A(3,1)B(0,-2),又点A、B在椭圆上,a2=12,b2=4,椭圆的方程为。 (2)设AB:y=x+4,同理可得两交点的坐标分别为(0,4),(-3,1)代入椭圆方程得,此时b2a2(舍去)。综上所述,直线方程为y=x+4,椭圆方程为。

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