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1、北京市人大附中2020届高三数学4月月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合,或,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由集合的交集运算直接直接求出答案即可.【详解】解：因为,或所以故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.函数的零点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】定义域为,通分得:,设,时,画出大致图象如下.易发现,即与交于点,又,即点为公切点,点为内唯一交点,又均为偶函数,点也为公切点, 为交点,有两个零点，故选3.已知平面向量,且,则实数的值是(
2、)A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由列出方程解出答案即可.【详解】解：由，得所以或故选：D【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示.4.如图,网格纸上小正方形的边长为,若四边形及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先画出，平移直线易得在点D处取得最大值，代入点D坐标求出最大值.【详解】解：在图中画出直线，平移直线易得在点D处取得最大值因为点D，所以最大为2故选：B.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，属于基础题.5.已知是平面的一条斜线,直线过平面内一点,那么下列选项中能成立的是( )A. ,且B. ,
3、且C. ,且D. ,且【答案】A【解析】【分析】将选项BCD一一当做条件，都会得出与题中矛盾的结论，故选项BCD错误，选项A得不出矛盾，选项A正确.【详解】解：若,且，则或，不符合题意，选项B错误；若,且，则，不符合题意，选项C错误；若,且，则，不符合题意，选项D错误.故选：A.【点睛】本题考查了空间中线面平行与垂直关系的判定与性质，属于基础题.6.已知圆截直线所得弦的长度为,则实数的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将圆化为标准式，写出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由垂径定理列方程解出即可.【详解】解：将圆化为标准式为，得圆心为，半径圆心到直线的距离，又弦长
4、由垂径定理得，即所以故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长，属于基础题.7.某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先算出总人数中高二与高一学生人数之比，再由抽取的样本中高二与高一学生人数之比不变求出高二应抽取人数.【详解】解：在总人数中高二与高一学生人数之比为360：400=9:10所以在抽取的样本中高二与高一学生人数之比仍为360：400=9:10因为高一抽取了60人，所以高二应抽取54人故选：B.【点
5、睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.8.已知四边形ABCD为边长等于的正方形，PA平面ABCD，QCPA，且异面直线QD与PA所成的角为30，则四棱锥QABCD外接球的表面积等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先找到异面直线QD与PA所成角为DQC=30，求出QC长，再由QC平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以四棱锥QABCD的外接球与长宽高分别为、的长方形的外接球相同，然后由长方体外接半径公式算出外接球的半径，从而求出表面积.【详解】解：因为QCPA，所以异面直线QD与PA所成的角为DQC=30，因为四边形ABCD为边长等于的正方形所以QC =又因为PA平面A
6、BCD，QCPA，得QC平面ABCD所以四棱锥QABCD的外接球与长宽高分别为、的长方形的外接球相同所以外接球的半径为所以四棱锥QABCD外接球的表面积故选：C.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，空间几何体的外接球，将本题中四棱锥的外接球转化为长方体外接球可简化本题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9.命题“,”的否定是_.【答案】【解析】【分析】全称命题否定，为特称命题，结论要否定.【详解】将全称命题化为特称命题，将结论否定：.【点睛】本题考查全称命题的否定，只否定结论，全称量词变为存在量词.10.若抛物线,则焦点的坐标是_.【答案】【解析】【分析】观察抛物线方程易得抛物线焦点在y轴正
7、半轴，然后写出焦点即可.【详解】解：因为，得，所以抛物线焦点故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的方程与焦点，属于基础题.11.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是_【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知：这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.12.在无穷数列中,为的前项和.若对任意,则称这个数列为“有限和数列”,试写出一个“有限和数列”_.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】答案不唯一，列
8、出出一个符合题意的数列即可.【详解】解：由题意知，只要符合这个条件即可，例如：故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查了数列前n项和的概念，属于基础题.13.已知函数,其中常数;若在上单调递增,则的取值范围_。【答案】【解析】由题意得因为在上单调递增,所以【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间14.某几何体的主视图和俯视图如图所示,在下列图形中,可能是该几何体左视图的图形是_.（写出所有可能的序号）【答案】【解析】分析：根据几何体的主视图和俯视图，在正方体中分别找到符合题意的多面体，即可得结果.详解：如图三棱锥，正视图与俯视图符合题意，侧视图为；
9、如图三棱锥，正视图与俯视图符合题意，侧视图为；如图三棱锥，正视图与俯视图符合题意，侧视图为，故答案为.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数（1）求的值；（2）求证：当时，【答案】
10、（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用倍角公式和辅助角公式，对原式进行化简，然后求出的值；（2）求出当时，f(x)的范围，得证.【详解】解： 1，证明： 2，当时，即时，取得最小值，当时，【点睛】本题主要考查了三角函数的变形以及告知x的取值，求三角函数值域的问题，解题的关键是能否把三角函数化简，属于基础题型.16.已知为等差数列的前n项和，且，（）求数列的通项公式；（）设，为数列的前n项和，是否存在，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由【答案】（）（）存在满足题意【解析】【分析】（）先设等差数列的公差，再由题中条件，列出等量关系，即可求出结果；（）由（）的结果，确定的通项公
11、式，进而可求出 ，再由，即可求出结果.【详解】解：（）设等差数列的公差为，则，又，所以，（）因为，所以为等比数列所以假设存在，使得，所以，即，所以满足题意【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式与求和公式即可求解，属于常考题型.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，分组，制成频率分布直方图： （1）求值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段
12、甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,求的值，并直接写出与的大小关系.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3） .由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率
13、分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，平面平面，且分别是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）当点是线段的中点时，平面.此时，【解析】【分析】（）由，利用面面垂直的性质，证得平面，在线面垂直的性质，即可得到. （）取中点，连连，得到四边形为平行四边形，又由是的中点，证得，且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（）取的中点，连，连，由线面垂直的性质，得到 , ，又在在中，利用中位
14、线得，再由（）知，进而得到平面，得出结论.【详解】（）因为，又平面平面，且平面平面，所以平面.又因为平面，所以.（）取中点，连连.在中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（）在线段上存在点，使得平面.取的中点，连，连.因为平面， 平面, 平面,所以 , .在中，因为分别是中点，所以.又由（）知，所以 ，.由 得平面.故当点是线段的中点时，平面.此时，.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，及线面位置关系的应用，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直19.已知函数.（）当时，求函数的极小值；（）当时，讨论的单调性；（
