《一线名师指点07年高考数学同步辅导第19讲数列的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一线名师指点07年高考数学同步辅导第19讲数列的综合应用（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一线名师指点07年高考数学同步辅导第19讲数列的综合应用【考点回放】1通项与前n项和的关系：2迭加累加法：， ， ， 3迭乘累乘法：，4裂项相消法：5错位相减法：, 是公差d0等差数列，是公比q1等比数列所以有6通项分解法：7等差与等比的互变关系： 8等比、等差数列和的形式：9无穷递缩等比数列的所有项和：【考点解析】1.已知an是递增的数列，且对于任意nN*，都有an=n2+n成立，则实数的取值范围是A.0 B.0C.=0D.3解析：由题意知anan+1恒成立，即2n+1+0恒成立，得3.答案：D2.设a1，a2，a50是从1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a50=9，且（a1+
2、1）2+（a2+1）2+（a50+1）2=107，则a1，a2，a50中有0的个数为A.10 B.11 C.12 D.13解析：将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+a502=39，故此50个数中有11个数为0.答案：B3.如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n2）第2个数是_.解析：设第n行的第2个数为an，不难得出规律，则an+1=an+n，累加得an=a1+1+2+3+（n1）=.答案：4.已知an=logn+1（n+2）（nN*），观察下列运算a1a2=log23log34=2，a1a2a3a4a5a6=log23log34l
3、og67log78=3.定义使a1a2a3ak为整数的k（kN*）叫做企盼数.试确定当a1a2a3ak=2020时，企盼数k=_.解析：由a1a2ak=log2（k+2）=2020，解之得k=220202.答案：2202025（2020江西卷）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.201解析：依题意，a1a2001，故选A6（2020江西卷）在各项均不为零的等差数列中，若，则（）解析：设公差为d，则an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2（2n1）4n2，故选A7（
4、2020江苏卷）对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是【思路点拨】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式解析：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2【解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。【考点演练】1.设an的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。解：由题意a1=1 , an0,(n=
5、1,2,3,.) 2.已知数列an,a1=2,an+1=an+3n+2,求an,解：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+.+（a2-a1）+a1点评根据数列递推公式，利用迭加（an-an-1=f(n)）、迭乘（an/an-1=f(n)）、迭代3、已知数列an，a1=1,an+1=解法一：由(1)-(2)得： 设 法二：设设，法三： 点评注意数列解题中的换元思想,如对数列递推式,我们通常将其化为看成bn的等比数列4、（猜证）已知数列an满足a1=1,（1）求a2,a3 ,a4 (2)证明：解：（1）a24a313 a4=40（2）a1 ,a2,a3 ,a4由
6、前可知，成立假设n=k时也成立，即n=k+1时, 也成立综上，5、设正数数列an前n项和Sn，存在正数t，使得对所有自然数n，有则通过归纳猜想得到Sn并证明？ 解：n=1时，得a1=t，n=2时，得a2=3t，n=3时，得a2=5t,猜测an=(2n-1)t证明：n=1,2,3时,已经成立假设n=k时也成立，即ak=(2k-1)t,则Skk2tn=k+1时，也成立综上，an=(2n-1)t , Sn= n2t点评用数学归纳法，由n=k证明n=k+1成立时，从递推式入手6、设数列an的首项为1，前n项和为Sn，满足关系1)求证：数列an是等比数列；2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn,使b
7、1=1,bn= (n=2,3,4,.) 求bn的通项公式解L(1)由又 得证(2)7、设数列an为正项数列,若对任意正整数n, an与2得 等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项, 求an的通项公式已知式中含有Sn与an的方程，则采用 n退一或进一，再两方程相减。解:【题型讲解】例1 等差数列an的首项a10,前n项和为Sn,若Sm=Sk(mk),问n为何值时，Sn最大？解：根据，首项a10,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn最大；若m+k为奇数，当n=(m+k1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn最大例2 已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)对于一切
8、大于1的自然数n都成立，求a的取值范围解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式f(n)1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)f(n+1) f(n)1/(n+2)+1/(n+3)+1/(2n+2) 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)1/(2n+2) +1/(2n+1) 1/(n+1)1/(2n+1) 1/(2n+2) 0f(n+1) f(n)函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12, 7/12,解得：1aq且q1, p1, 设Cn=an+bn,Sn为数列Cn的前n项和，求解：,以下分两种情况讨论
9、：(1)当p1时, pq0, 0q/p1=0,=0,两边同除以pn,得：=p;(2)当pqo, 0qp0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r的取值范围证明：根据得an=a+(n1) 2b,an是等差数列，首项为a,公比为2b由x=an=a+(n1)2b, y=Sn/n1=a+(n1)b两式中消去n,得：x2y+a2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r1)2+r2r2; (r2)2+(r1/2)2r2; (r3)2+(r1)2r2 r的取值范围是(1,5/2)(0,1)(4+,+)例7 已知数列an满足条件a
10、1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比为q (q0)的等比数列，设bn=a2n1+a2n (n=1,2,3,) 求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3 (nN) 成立的q 的取值范围；求bn和,其中Sn为数列bn的前n项的和；设r=21921,q=05,求数列的最大项和最小项的值解：rqn1+rqnrqn+1, q0 0q(1+)/2;=q0 bn是首项为1+r,公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn1,当q=1时，Sn=n(1+r), =0;当0q1时，=0;=f(n)=1+1/(n202),当n21时，f(n)递减， f(n)f(21)1f(n)4; 当n
11、=21时，有最大值225;当n=20时，有最小值4例8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,xn,由已知x2x1=x3x2=x4x3=xnxn1, xn为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n), x1+x2+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24n x1+xn=48, 又xn=5x1 , xn=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟例9 某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的
