《2020版高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性精品学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性精品学案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20202020 版高三数学一轮精品复习学案 函数 导数及其应用版高三数学一轮精品复习学案 函数 导数及其应用 2 32 3 函数的奇偶性函数的奇偶性 高考目标导航 一 考纲点击 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 二 热点难点提示 1 函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点 2 函数奇偶性的判断 利用奇偶函数图象特点解决相关问题 利用函数奇偶性 周期性求函数数值 及求参数值等问题是重点 也是难点 3 题型以选择题和填空题为主 还可与其他知识点交汇命题 考纲知识梳理 一 函数的奇
2、偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数 f x 的定义域内任 意一个 都有 f x f x 那么 函数 f x 是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数如果对于函数 f x 的定义域内任 意一个 都有 f x f x 那 么函数 f x 是奇函数 关于原点对称 注 1 奇偶函数的定义域的特点 由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的 x 在定义域中 即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称 2 存在既是奇函数 又是偶函数的函数 它们的特点是定义域关于原点对称 且解析式化简后等于 零 二 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反
3、填 相同 相反 2 在公共定义域内 亦即 1 两个奇函数的和函数是奇函数 两个奇函数的积函数是偶函数 2 两个偶函数的和函数 积函数是偶函数 3 一个奇函数 一个偶函数的积函数是奇函数 注 以上结论是在两函数的公共定义域内才成立 并且只能在选择题 填空题中直接应用 解答题需 先证明再利用 3 若是奇函数 f x 且在 x 0 处有定义 则 f 0 0 4 对称性 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 5 整体性 奇偶性是函数的整体性质 对定义域内任意一个x都必须成立 6 可逆性 xfxf xf是偶函数 xfxf xf奇函数 7 等价性 xfxf 0 xfxf
4、xfxf 0 xfxf 8 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于y轴对称 9 可分性 根据函数奇偶性可将函数分类为四类 奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 非奇 非偶函数 三 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当 x 取定义域内的任何值时 都有 f x T f x 那么就称函数y f x 为周期函数 T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫 做它的最小正周期 要点名师透析 一 函数奇偶性的判定 1 相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 即 1 首先确定函数的定义域 看它是否
5、关于原点对称 若不对称 则既不是奇函数又不是偶函数 2 若定义域关于原点对称 再判定 f x 与 f x 之间的关系 若 f x f x 或 f x f x 0 则为奇函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 为偶函数 若 f x f x 且 f x f x 则 f x 既是奇函数又是偶函数 若 f x f x 且 f x f x 则 f x 既不是奇函数也不是偶函数 一些重要类型的奇偶函数 1 函数 f x ax a x为偶函数 函数 f x ax a x为奇函数 2 函数 f x ax a x ax a x ax 1 ax 1 其中 a 0 且 a 1 为奇函数 3 函
6、数 f x loga 1 1 x x 为奇函数 a 0 且 a 1 4 函数 f x loga 2 1xx 为奇函数 a 0 且 a 1 2 例题解析 例 1 讨论下述函数的奇偶性 111 1 3 0 1 1 0 0 0 1 1 2 2 2116 1 22 2 xxogxf xxxn x xxxn xfxf x xx 0 4 22 a aax xa xf常数 解 1 函数定义域为 R 2 2116 1 4 161 211 16 1 2 2 2116 xfxf x xx x x x x x x xx f x 为偶函数 另解 先化简 1441 4 116 xx x x xf 显然 xf 为偶函数
7、从这可以看出 化简 后再解决要容易得多 2 须要分两段讨论 设 1 1 1 1 1 1 1 0 0 xfxxn xx nxxnxf xx 设 1 1 1 1 1 1 1 0 0 xfxxn xx nxxnxf xx 当 x 0 时 f x 0 也满足 f x f x 由 知 对 x R 有 f x f x f x 为奇函数 3 1 01 01 2 2 2 x x x 函数的定义域为 1 x f x log21 0 x 1 即 f x 的图象由两个点 A 1 0 与 B 1 0 组成 这两点既关于 y 轴对称 又关于原点对称 f x 既是奇函数 又是偶函数 4 x2 a2 要分 a 0 与 a
8、0 时 0 0 aa aax axa 函数的定义域为 x xa xfax 22 0 当 a 0 时 f x 为奇函数 2 2 2 0 21 22 a x a x ax xa xfax 称的两点取定义域内关于原点对 0 0 3 3 5 3 2 2 xfa a f a f时当 既不是奇函数 也不是偶函数 例 2 f x 是定义在 5 5 上的奇函数 且f x 在 5 上单调递减 试判断f x 在 5 上的单调性 并用定义给予证明 解析 任取x1 x2 5 则 x1 x2 5 因f x 在 5 上单调递减 所以f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 即f x 在 5 上单调减函数
9、 二 分段函数的奇偶性 1 分段函数奇偶性的判定步骤 1 分析定义域是否关于原点对称 2 对 x 的值进行分段讨论 寻求 f X 与 f X 在各段上的关系 3 综合 2 在定义域内 f X 与 f X 的关系 从而判断 f X 的奇偶性 注 奇偶性是函数的一个整体性质 不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数 2 例题解析 例 1 已知函数 2 2 4 0 4 0 xx x x f x xx x x 试判断 f x的奇偶性 分析 确定定义域 判断每一段上 fx 与 f x的关系 判断整个定义域上 fx 与 f x的关 系 结论 解答 由题设可知函数的定义域关于原点对称 当0 x 时 0
10、x 2 22 2 22 4 44 0 0 4 44 0 xx f x x xxxx fx xx f xfx xx xx f x x xxxx fx xx f xfx fxf x f x 则 当 则 综上所述 对于x都有成立 为偶函数 注 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内 x取值的任意性 应分段讨论 讨论时可依据 x 的范围 取相应的解析式化简 判断 f x 与 f x 的关系 得出结论 也可以利用图象作判断 例 2 判断函数的奇偶性 解析 显然函数 f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当 x0 则 f x x 2 x x2 x f x 当 x 0 时 x 0 则 f x x 2 x
11、x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意 x 总有 f x f x 成立 函数 f x 为奇函数 三 抽象函数的奇偶性 1 相关链接 判断 或证明 抽象函数的奇偶性的步骤 1 利用函数奇偶性的定义 找准方向 想办法出现 f x f x 2 巧妙赋值 合理 灵活变形配凑 3 找出 f X 与 f X 关系 得出结论 2 例题解析 例 1 已知函数 f x 对一切 x y R 都有 f x y f x f y 1 判断函数 f x 的奇偶性 2 若 f 3 a 用 a 表示 f 12 分析 判断函数奇偶性的一般思路是利用定义 看 f x 与 f x 的关系 进而得出函数的奇偶性 解 决本题的
12、关键是在 f x y f x f y 中如何出现 f x 用 a 表示 f 12 实际上是如何用 f 3 表示 f 12 解决该问题的关键是寻找 f 12 与 f 3 的关系 解答 1 0 0 2 0 0 0 0 f xR xyf xyf xf y xyfff yxff xfx fxf xf x 显然的定义域是 关于原点对称 又函数对一切 都有 令 得 再令得 为奇函数 2 3 3 3 12 66 6 6 2 6 3 33 4 3 4 faf x ffa f xyf xf y xyR fffffffa 且为奇函数 又 例 2 设函数 xf 在 上满足 2 2 xfxf 7 7 xfxf 且在闭
13、区间 0 7 上 只有 0 3 1 ff 1 试判断函数 xfy 的奇偶性 2 试求方程 0 xf 在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 解析 1 由 2 2 xfxf 得函数 xfy 的对称轴为 2 x 5 1 ff 而 1 1 0 5 fff 即 xf 不是偶函数 又 xf 在 0 7 上只有 0 3 1 ff 0 0 f 从而知函数 xfy 不是奇函数 故函数 xfy 是非奇非偶函数 2 7 7 2 2 xfxf xfxf 14 4 14 4 xfxf xfxf xfxf 10 xfxf 从而知函数 xfy 的周期为 T 10 又 0 1 3 ff 0 9 7 13
14、 11 ffff 故 xf 在 0 10 和 0 10 上均有 2 个根 从而可知函数 xfy 在 0 2000 上有 400 个根 在 2000 2020 上有 2 个根 在 0 2000 上有 400 个根 在 2000 2005 上没有根 函数 xfy 在 2005 2005 上有 802 个根 注 抽象函数奇偶性的判断 关键是要充分理解题意 灵活选取变量的值 四 函数的周期性及其应用 1 相关链接 关于周期函数的常用结论 1 若对于函数 f x 定义域内的任意一个 x 都有 f x a f x 则函数 f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 f x a 1 f x 则函数 f x
15、 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 f x a 1 f x 则函数 f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 2 如果 T 是函数 y f x 的周期 则 kT k Z k 0 也是函数 y f x 的周期 即 f x kT f x 若已知区间 m n m n 上的图象 则可画出区间 m kT n kT k Z k 0 上的图象 2 例题解析 例 1 已知函数 f x 满足 f 1 1 4 4f x f y f x y f x y x y R 则 f 2 010 思路分析 本题已知函数 f x 是抽象函数 所求 f 2 010 的值与已知函数值的变量相差距离较大 可能与函数的周期性有关
16、 因此可由归纳得出结论求值 需要求出多个函数值才发现规律 也可据递推 关系推导出周期函数的结论 进而解决问题 解析 方法一 令 x 1 y 0 则 4f 1 f 0 f 1 f 1 所以 f 0 1 2 令 x y 1 则 4f 1 f 1 f 2 f 0 所以 f 2 1 4 令 x 2 y 1 则 4f 2 f 1 f 3 f 1 所以 f 3 1 2 令 x y 2 则 4f 2 f 2 f 4 f 0 所以 f 4 1 4 令 x 4 y 1 则 4f 4 f 1 f 5 f 3 所以 f 5 1 4 令 x y 3 则 4f 3 f 3 f 6 f 0 所以 f 6 1 2 令 x 6 y 1 则 4f 6 f 1 f 7 f 5 所以 f 7 1 4 函数值以 6 为周期循环出现 又因为 2010 335 6 所以 f 2 010 f 335 6 0 f 0 1 2 方法二 令 y 1 则 4f x f 1 f x 1 f x 1 f 1 1 4 f x f x 1 f x 1 f x 1 f x f x 2 f x 1 f x 1 f x 2 f x 1 f x 2 即
