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1、2020年高考数学知识复习疑点解答1. 什么是数学方法 ? 中学数学有哪些常用的基本数学方法 ? 答：所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法数学方法是以数学的工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法 数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是逻辑的严密性及结论的确定性，三是应用的普遍性和可操作性 数学方法在科学技术研究
2、中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁确定的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具现代科学技术特别是电子计算机的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成 在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类： （ 1 ）逻辑学中的方法例如分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等这些方法既要遵重逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色 （ 2 ）数学中的一般方法例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法（也称坐标法，在代数中常称图象法，在学生今后要学习的解析几何中常称坐标法）、比较法（数学中主要是指比较大
3、小，这与逻辑学中的多方位比较不同）等这些方法极为重要，应用也很广泛 （ 3 ）数学中的特殊方法例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称之为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学思想）、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用，对于某一类问题也都是一种通法 2. 解不等式时，常用的等价转化有哪些情况 ? 答：设 1 和 2 都是的函数，那么下列各不等式等价： （ 1 ） 1 2 （ 2 0 ） 2 1 2 ， 1 2 （ 2 0 ） 1 2 或 1 2 ； （ 2 ） 1 （ 0 ） 1 2 2 ， 1 （ 0 ） 1 2
4、2 ； （ 3 ） 1 2 0 1 0 且 2 0 ，或 1 0 且 2 0 ， 1 2 0 1 0 且 2 0 ，或 1 0 且 2 0 ； （ 4 ） 1 2 0 （ 2 0 ） 1 2 0 ， 1 2 0 （ 2 0 ） 1 2 0 3 怎样正确理解逻辑联结词 “ 或 ” 的意义？ 答： “ 或 ” 这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是 “ 不可兼有 ” ，即 “ 或 ” 是指，中的某一个，但不是两者日常生活中有时采用这一解释例如 “ 你去或我去 ” ，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能另一是 “ 可兼有 ” ，即 “ 或 ” 是指，中的任何一个或两者例如 “ 或 ” ，是指可
5、能属于但不属于（ “ 但 ” 在这里实际上等价于另一逻辑联结词 “ 且 ” ），也可能不属于但属于，还可能既属于又属于（即 ）又如在 “ 真或真 ” 中，可能只有真，也可能只有真，还可能，都为真数学书籍中一般采用后一种解释，运用数学语言和解数学选择题时，都要遵守这一点，还要注意 “ 可兼有 ” 并不意味 “ 一定兼有 ” 4 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 这三个复合命题概念后，怎样进行真假概括？ 答：（ 1 ）对于复合命题 “ 或 ” ，当且仅当，中至少有一个为真（包括两个同时为真）时，它是真命题；当且仅当，都为假时，它是假命题 （ 2 ）对于复合命题 “ 且 ” ，当且仅当，都为真时，它是
6、真命题；当且仅当，中至少有一个为假（包括两个同时为假）时，它是假命题 （ 3 ）对于复合命题 “ 非 ” ，当且仅当为真时，它是假命题；当且仅当为假时，它是真命题 以上也可以利用真值表示进行概括 可以看出，要使学生正确理解上述概念，还要让他们熟练掌握并会灵活运用 “ 至少 ”“ 最多 ”“ 同时 ” ，以及 “ 至少有一个是（不是） ”“ 最多有一个是（不是） ”“ 都是（不是） ”“ 不都是 ” 这些词语这也是学习数学的难点之一，需要长期不懈地进行训练，才能达到要求 5 怎样理解四种命题？怎样利用反证法来理解四种命题的关系？ 答：学生在初中未学过否命题和逆否命题可以举例来说 命题甲：如果 1
7、 、 2 是对顶角，那么 1 2 命题乙：如果 1 2 ，那么 1 、 2 是对顶角 命题丙：如果 1 、 2 不是对顶角，那么 12 命题丁：如果 12 ，那么 1 、 2 不是对顶角 这里命题甲、乙互为逆命题；命题丙是把命题甲的条件、结论都加以否定后得到的，所以我们把命题丙叫做命题甲的否命题（注意让学生把 “ 否命题 ” 一词与刚学过的逻辑联结词 “ 非 ” 的使用区别开来， “ 非 ” 通常只否定结论），并且命题甲、丙互为否命题；命题丁是把命题乙的条件、结论都加以否定后得到的，所以命题乙、丁互为否命题，我们把命题丁叫做命题甲的逆否命题学生经过仔细分析，可以看出：命题丁也可以通过把命题丙的
8、条件、结论颠倒过来而得到，所以命题丙、丁互为逆命题，我们也可以把命题丁叫做命题甲的否逆命题命题甲的逆否命题和否逆命题相同，我们一般只用 “ 逆否命题 ” 一词 利用反证法，很容易证明：在四种命题中，原命题与逆否命题同时成立或同时不成立，逆命题与否命题同时成立或同时不成立（可以让学生就上面的例子试一试） 以上就是所谓 “ 四种命题的关系 ” 6 怎样用推出符号对 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ” 和 “ 充要条件 ” 进行概括？ 答：（ 1 ）若 ，且 ，则是的充分且不必要条件，是的必要且不充分条件； （ 2 ）若 ，且 ，则是的必要且不充分条件，是的充分且不必要条件； （ 3
9、）若 ，且 ，则是的充要条件（此时也是的充要条件）； （ 4 ）若 ，且 ，则是的充要条件（此时也是的充要条件） 7 怎样让正确判断 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ”“ 充要条件 ” 以及 “ 不充分且不必要条件 ” ？ 答：这四种情况反映了条件和结论之间的因果关系，所以在判断时应该让学生： （ 1 ）确定条件是什么，结论是什么； （ 2 ）尝试从条件推导结论，从结论推导条件； （ 3 ）确定条件是结论的什么条件 要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性 8 如何利用已知函数的单调性
10、来判定较复杂函数的单调性？ 答：如果函数（）、（）在区间上具有单调性，那么在上： （ 1 ）（）与（）（为常数）具有相反的单调性 （ 2 ）（）与 （）当 0 时具有相同的单调性，当 0 时具有相反的单调性 （ 3 ）当（）恒不为 0 时，（）与 1 （）具有相反的单调性 （ 4 ）当（）恒为非负时，（）与（）具有相反的单调性 （ 5 ）当（）、（）都是增（减）函数时，（）（）也是增（减）函数 （ 6 ）设（）、（）都是增（减）函数，则（） （）当（）、（）两者都恒大于 0 时也是增（减）函数，当两者都恒小于 0 时是减（增）函数 9 什么叫做函数的奇偶性？ 答：一般地，设有函数（），对于其定
11、义域内的任意一个值，如果都有（）（），那么称（）是奇函数；如果都有（）（），那么称（）是偶函数 如果函数（）是奇函数或偶函数，那么称（）具有奇偶性 函数的奇偶性也是函数的整体性质之一这里指出以下几点 （ 1 ）函数的奇偶性是针对函数的定义域讲的由于任意的与都要在定义域内，所以奇（偶）函数的定义域关于原点对称我们在判定函数是否具有奇偶性时，应先确定其定义域关于原点是否对称不对称就没有奇偶性（定义域对称，才能使函数图象关于原点或轴对称） （ 2 ）既是奇函数又是偶函数的函数，一定有解析式（） 0 ，但它的定义域可以各色各样（必须关于原点对称），所以不是惟一的解析式不为（） 0 的函数，不可能既是奇
12、函数又是偶函数 （ 3 ）奇（偶）函数还具有以下性质： 两个奇（偶）函数的和（差）也是奇（偶）函数 两个函数的积（商，分母恒不为 0 ），当其奇偶性相同时为偶函数，当其奇偶性相反时为奇函数 奇（偶）函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同（反） 偶函数一般不存在反函数；如果一个奇函数有反函数，那么其反函数也是奇函数 （ 4 ）构造奇（偶）函数的简单方法：设（）是定义域关于原点对称的函数，则 1 （）（ 1 2 ）（）（） 是偶函数，而 2 （）（ 1 2 ）（）（） 是奇函数显然， 1 （） 2 （）（），所以这样的（）总可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和 10. 函数的一些重要性质
13、, 如何区别 ? 如果函数 对于一切 ，都有 ，那么函数 的图象关于直线 对称 . 函数 与函数 的图象关于直线 对称； 函数 与函数 的图象关于直线 对称； 函数 与函数 的图象关于坐标原点对称 . 函数 与函数 的图象关于直线 对称 . 若奇函数 在区间 上是递增函数，则 在区间 上也是递增函数 若偶函数 在区间 上是递增函数，则 在区间 上是递减函数 函数 的图象是把函数 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的； 函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到的； 函数 +a 的图象是把函数 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的 ; 函数 +a 的图象是把函数 助图象沿 y 轴向下平移 个单位得到的 . 函数 的图象是把函数 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 得到的； 函数 的图象是把函数 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的 . 11 求一个数列的通项公式时，有哪些基本方法？ 答：有以下四种基本方法： （ 1 ）直接法就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出 （ 2 ）观察分析法根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第项
