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1、第七章单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1(2020东城区)已知c2cBc()cC2c()c D2c()c答案D2不等式组的解集是()A(0,) B(,2)C(,4) D(2,4)答案C解析|x2|20x1x或x0的解集是()A(2,1) B(2,)C(2,1)(2,) D(,2)(1,)答案C解析不等式0可等价转化为(x1)(x24)0,即(x1)(x2)(x2)0,在数轴上用穿根法表示如下图所示原不等式的解集为(2,1)(2,)4对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有()Af(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df
2、(0)f(2)2f(1)答案D解析由(x1)f(x)0,可得:当x10即x0,即x1时,f(x)0,函数单调递增或为常数函数所以f(0)f(1),f(2)f(1),同向不等式相加得:f(0)f(2)2f(1)故选D.5已知f(x)x在(1,e)上为单调函数,则b的取值范围是()A(,1e2,) B(,0e2,)C(,e2 D1,e2答案A解析b0时,f(x)在(1,e)上为增函数b0时,当x0时,x2当且仅当x即x取等号,若使f(x)在(1,e)上为单调函数,则1或e,0b1或be2综上b的取值范围是b1或be2,故选A.6已知向量a(1,),b(x1,1),则|ab|的最小值是()A1 B.
3、C. D2答案B解析ab(x,),|ab|;|ab|min.7设集合Pm|1m0,QmR|mx24mx40对任意实数x恒成立,则下列关系中成立的是()APQ BQPCPQ DPQ答案A解析对于Q:当m0时,不等式恒成立;当m0时,须即1m0,则Qm|1m0,PQ.8不等式x的解集是()A(0,2) B(2,)C(2,4 D(,0)(2,)答案C解析解法一:解法二:由于5不满足4xx20,排除B、D两项,1不满足0,则t2(k1)t20在t0时恒成立第二步分0和0讨论(1)由0,得21k0,t20.又t1t2k10得32x(k1)3x20,解得k13x,而3x2,k12,k的解集为()A(,27
4、) B(,3)(3,27)C(,81) D(,3)(3,81)答案D解析原不等式等价于0|1log3x|3,即2log3x4且log3x1,即x4.8,当且a时取等号二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13设a0且a1,函数f(x)alg(x22x2)有最大值,则不等式loga(x25x7)0的解集为_答案x|2x00x25x71解得2x314f(x)是定义在(0,)上的增函数,对正实数x、y都有:f(xy)f(x)f(y)成立则不等式f(log2x)0的解集为_答案(1,2)解析本题考查抽象函数不等式的求法,注意利用抽象函数的性质及赋值法的应用令xy1可得
5、f(1)2f(1),f(1)0.又f(x)在(0,)上为增函数,f(log2x)00log2x1,1x1时,不等式xa恒成立,则实数a的最大值为_答案3解析xa,(x1)a1.又x1,x10,(x1)2,a12,即a3,a的最大值为3.16从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC2,A90,则这两个正方形的面积之和的最小值为_答案解析设两个正方形边长分别为a,b,则由题可得ab1,且a,b,Sa2b22()2,当且仅当ab时取等号三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设f(x).(1)求f(x)在0,)上的
6、最大值;(2)求f(x)在2,)上的最大值答案(1)25(2)2018(本小题满分12分)在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,设f(x)a2x2(a2b2)x4c2.若f(2)0,求角C的取值范围解析若f(2)0,则4a22(a2b2)4c20,a2b22c2,cosC.又2c2a2b22ab,abc2,cosC.又C(0,),00)()x0,225x210800.y225x36010440.当且仅当225x时,等号成立即当x24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元20(本小题满分12分)已知(1,cosx),(cosx,1),x,记f(x)cos.(1)求函数f
7、(x)的解析式;(2)求的最大值解析(1)(1,cosx),(cosx,1),2cosx,|1cos2x.f(x)cos.(2)x,f(x)cos,cosx,12cosx,f(x)1,即cos1.故的最大值为arccos.21(本小题满分12分)已知函数yf(x)x3ax2b(a,bR)(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增,试求a的取值范围;(2)当x(0,1时,yf(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为,且0,求a的取值范围解析(1)f(x)3x22ax,要使f(x)在(0,2)上单调递增,则f(x)0在(0,2)上恒成立,f(x)是开口向下的抛物线,a3.(2)0,tan3x22ax0
8、,1据题意03x22ax1在(0,1上恒成立,由3x22ax0,得ax,a,由3x22ax1,得ax.又x(当且仅当x时取“”),a.综上,a的取值范围是a.22(本小题满分12分)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)1(a0)解析(1)f(x)是二次函数,且f(x)0),f(x)的对称轴为x且开口向上f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)6A12.A2.f(x)2x(x5)2x210x.(2)由已知有0,x(x5)(ax5)0.又a0,x(x5)(x)0.()若1a0,则5,x0或5x.()若a1,则x0.()若a1,则5,x0或x5.综上知:当1a0时,原不等式的解集为x|x0或5x;当a1时,原不等式的解集为x|x0;当a1时,原不等式的解集为x|x0或x5