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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（福建卷，解析版）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 函数最小值是A-1 B. C. D.11【答案】：B解析.故选B2.已知全集U=R，集合，则等于A x 0x2 B x 0x2 C x x2 D x x0或x22【答案】：A解析计算可得或.故选A3.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于A1 B C.- 2 D 33【答案】：C解析且.故选C4. 等于A B. 2 C. -2 D. +24【答案】：D解析.故选D5.下列函数中，满足“对任意，（0，），当的是
2、A= B. = C .= D 5【答案】：A解析依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A2 B .4 C. 8 D .16 6【答案】：C解析由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=24=8. 故选C7.设m，n是平面 内的两条不同直线，是平面 内的两条相交直线，则/ 的一个充分而不必要条件是 A.m / 且l / B. m / l 且n / lC. m / 且n / D. m / 且n / l7【答案】：B解析若，则可得.若则存在8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三
3、次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.158【答案】：B解析由随机数可估算出每次投篮命中的概率则三次投篮命中两次为0.25故选B9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非
4、零向量，且满足a与b不共线，ac a=c,则b c的值一定等于 A 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积C以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积9【答案】：C解析依题意可得故选C.10.函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是A. B C D 10. 【答案】：D解析本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.第二卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。11.若（i为虚数单位， ）则_ 11.
5、【答案】：2 解析：由，所以故。12某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字应该是_12. 【答案】：1 解析：观察茎叶图，可知有。13.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ 13. 【答案】：2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。14.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.14. 【答案】： 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。15.五位
6、同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_.15. 【答案】：5 解析：由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，所以有，又由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。三解答题 16.（13分）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个。（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（2） 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布
7、列和数学期望E 16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A基本事件总数n=31事件A包含的基本事件是1,4,5、2，3，5、1，2，3，4事件A包含的基本事件数m=3所以（II）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5又， ， ， 故的分布列为： 12 3 4 5 P 从而E+2+3+4+517（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意
8、，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.A（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.18、（本小题满分13分）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算
9、求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在MNP中MNP=120，MP=5，设PMN=，则060由正弦定理得,故00）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】解法一：()当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得BOT=60或120.(1
10、)当BOT=60时, SAE=30.又AB=2,故在SAE中,有 (2)当BOT=120时,同理可求得点S的坐标为,综上, ()假设存在,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.解法二:()同解法一.()假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.20、（本小题满分14分）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间
