《[教案新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[教案新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学 海 无 涯 2 4 1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的 1 掌握平面向量的数量积及其几何意义 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3 了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题 4 掌握向量垂直的条件 教学重点 平面向量的数量积定义 教学难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程 一 复习引入 1 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 作OA OB 则 叫 与 的夹角 说明 1 当 时 与 同向 2 当 时 与 反向 3 当 2 时 与 垂直 记 4 注意在两向量的夹角定义 两向量必须是同起点的 范围 0 180 2 两向量共线的判定 3
2、 练习 1 若a 2 3 b 4 1 y 且a b 则y C A 6 B 5 C 7 D 8 2 若A x 1 B 1 3 C 2 5 三点共线 则x的值为 B A 3 B 1 C 1 D 3 4 力做的功 W F s cos 是F与s的夹角 二 讲解新课 1 平面向量数量积 内积 的定义 已知两个非零向量 与 它们的夹角是 则数量 a b cos 叫 与 的数量积 记作a b 即有a b a b cos 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0 探究 1 向量数量积是一个向量还是一个数量 它的符号什么时候为正 什么时候为负 2 两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别 1 两个向量的数量积
3、是一个实数 不是向量 符号由 cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积 写成a b 今后要学到两个向量的外积a b 而a b是 两个向量的数量的积 书写时要严格区分 符号 在向量运算中不是乘号 既不能省略 学 海 无 涯 也不能用 代替 3 在实数中 若a 0 且a b 0 则b 0 但是在数量积中 若a 0 且a b 0 不能推出 b 0 因为其中 cos 有可能为 0 4 已知实数a b c b 0 则ab bc a c 但是a b b c a c 如右图 a b a b cos b OA b c b c cos b OA a b b c 但a c 5 在实数中 有 a b c
4、a b c 但是 a b c a b c 显然 这是因为左端是与c共线的向量 而右端是与a共线的向量 而一般a与c不共 线 2 投影 的概念 作图 定义 b cos 叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一个数量 不是向量 当 为锐角时投影为正值 当 为钝角时投影为负值 当 为直角时投影为 0 当 0 时投影为 b 当 180 时投影为 b 3 向量的数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影 b cos 的乘积 探究 两个向量的数量积的性质 设a b为两个非零向量 1 a b a b 0 2 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别的a a a 2
5、或 aaa a b a b cos ba ba 探究 平面向量数量积的运算律 1 交换律 a b b a 证 设a b夹角为 则a b a b cos b a b a cos a b b a 2 数乘结合律 a b a b a b 证 若 0 a b a b cos a b a b cos a b a b cos 学 海 无 涯 若 0 a b a b cos a b cos a b cos a b a b cos a b a b cos a b cos a b cos 3 分配律 a b c a c b c 在平面内取一点O 作OA a AB b OC c a b 即OB 在c方向上 的投影
6、等于a b在c方向上的投影和 即 a b cos a cos 1 b cos 2 c a b cos c a cos 1 c b cos 2 c a b c a c b 即 a b c a c b c 说明 1 一般地 2 0 3 有如下常用性质 三 讲解范例 例 1 证明 例 2 已知 a 12 b 9 254 ba 求a 与b 的夹角 例 3 已知 a 6 b 4 a与b的夹角为 60 o求 1 a 2b a 3b 2 a b 与 a b 利用 aaa 例 4 已知 a 3 b 4 且a与b不共线 k 为何值时 向量 a kb 与 a kb 互相垂直 四 课堂练习 1 P106 面 1 2 3 题 2 下列叙述不正确的是 A 向量的数量积满足交换律 B 向量的数量积满足分配律 C 向量的数量积满足结合律 D a b是一个实数 3 a 3 b 4 向量a 4 3 b与a 4 3 b的位置关系为 A 平行 B 垂直 C 夹角为 3 D 不平行也不垂直 4 已知 a 8 b 10 a b 16 求a与b的夹角 五 小结 1 平面向量的数量积及其几何意义 2 平面向量数量积的重要性质及运算律 3 向量垂直的条件 六 作业 习案 作业二十三 学 海 无 涯
