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1、第四节抛物线一、填空题1. (2020苏北四市联考)若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是_2. (2020福建改编)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为_3. 若垂直于x轴的直线交抛物线y24x于点A，B，且AB4，则直线AB的方程为_4. (2020湖南改编)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_5. (2020江苏海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试)抛物线y28x的焦点到双曲线1的渐近线的距离为_6. (2020南京模拟)在直角坐标系xOy中，双曲线x21的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程是
2、_7. 探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 cm，灯深40 cm，则光源放置位置为灯轴上距顶点_处8. 点M到直线l：x2y30的距离等于到点A(1,1)的距离，则点M的轨迹为_9. (2020海安中学模拟)已知P为抛物线y24x上一点，设P到准线的距离为d1，P到点A(1,4)的距离为d2，则d1d2的最小值为_二、解答题10. (2020广东东莞五校联考)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，求|PF|.11. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物
3、线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率12. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时AB的宽为20 m，如果水位上升3 m时，水面CD的宽为10 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280 km(桥长忽略不计)，货车正以每小时40 km的速度开往乙地，当行驶1小时时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨造成水位以每小时0.25 m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)试问：如果货
4、车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少km?参考答案1. y2=8x解析：抛物线的焦点在x轴上，且=2，抛物线的标准方程是y2=8x.2. x2+y2-2x=0解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0.3. x=3解析：由题意知点A，B的纵坐标为2和-2，代入抛物线方程求得x=3，所以直线AB的方程为x=3.4. 6解析：抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，点P到y轴的距离是4，点P到抛物线准线的距离是6，由抛
5、物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6.5. 1解析：抛物线y2=8x的焦点坐标是(2,0)，双曲线-=1的渐近线方程为xy=0，利用点到直线的距离公式得所求距离为=1.6. y2=2x解析：双曲线x2-=1的左准线l的方程为x=-=-，所求抛物线的准线方程为x=-，即抛物线的焦点在x轴上，且-=-，解得p=1，抛物线方程为y2=2x.7. 5. 625 cm解析：将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x轴正半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y2=2px中，解得p=，而光源放在焦点位置，距离顶点p=5.625 cm处8. 经过点A(1,1)且垂直于直线l的直线
6、解析：因为点A(1,1)在直线x+2y-3=0上，所以动点的轨迹不是抛物线，而是过点A且与直线x+2y-3=0垂直的直线，其方程为2x-y-1=0.9. 4解析：由抛物线定义得P到准线的距离d1等于点P到焦点F(1,0)的距离PF，又点A(1,4)在抛物线外部，所以当点P、A、F三点共线时，d1+d2取得最小值AF，即最小值为4.10. 设点P(x0，y0)，则y20=8x0，A(-2，y0)，又焦点F(2,0)，直线AF的斜率为-，所以=-，解得y0=4，所以P(6,4)，所以|PF|=8.11. (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.点P(1,2)在抛物线上，22=2p1，解得p=2.所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA=(x11)，kPB=(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPA=-kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21=4x1，y22=4x2，=-，y1+2=-(y2+2)，y1+y2=-4.由-得直线AB的斜率为
