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1、2020届高考数学快速提升成绩题型训练恒成立问题1. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求的取值范围.3. 已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.4. 已知函数，其中是的导函数.（1）对
2、满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点.5. 求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程.6. 设，二次函数若的解集为， ，求实数的取值范围.7. 已知函数，. 若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；8. 设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，,若存在使得成立，求的取值范围.9. 已知函数 （1）求的单调区间和值域；（2）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.10. 求实数的取值范围，使得对任意实数和任意，恒有：。11. 已知是函数的一个极值点，其中。（I）求与的关系式；（II
3、）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.12. 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立.13. 对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围。14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。15. 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。16. 已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。若时，恒成立，求的取值范围。若时，恒成立，求的取值范
4、围。 若对任意的实数，恒成立，求的取值范围。分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。已知函数，常数，求（1）函数的定义域；（2）当满足什么条件时在区间上恒取正。答案：1.（1）设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得（2）设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.2. 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设其解法相当于解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本
5、题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时, 成立.由在时,有最小值,于是,.3. 依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则. 于是, t的取值范围是.4. 解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 令，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此
6、只需 即解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不等式.由知,于是,不等式的解为 .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时，对满足的一切的值，都有.5. 因为圆与抛物线相切于坐标原点,所以,可设.由题意, 抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于 在的条件下,恒成立.整理式得 于是,本题又等价于式在的条件下,恒成立.即,由得 ,即.所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为6.解法一：由题设,. 的两个根为显然,. (1) 当时, (2) 当时
7、, , .于是,实数的取值范围是.解法二:(1) 当时,因为的图象的对称轴，则对，最大， (2) 当时, 在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.7. 只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是 ,而在上有解,就等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由题设,所以a的取值范围是8. 本题的第（） “若存在使得成立，求的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小
8、值小于1即可.由（）可得,函数在的值域为,又在的值域为,存在使得成立，等价于或，容易证明,.于是, .9. （1）对函数求导，得 令解得可以求得，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为.（2）对函数求导，得因为，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又即时有的值域为是如何理解“任给，存在使得”，实际上，这等价于值域是值域的子集，即这就变成一个恒成立问题，的最小值不小于的最小值，的最大值不大于的最大值即解式得 ；解式得又，故a的取值范围为10. 提示：原不等式 答案：或11. 分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I) （II）当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）
9、为对恒成立，即3(1)(1+)30，(1)(1+)1(*)1=1时，(*)化为01恒成立，021时，1,1，210运用函数思想将(*)式化为(1)，令=1，则2,0，记，则在区间2,0是单调增函数；由(*)式恒成立，必有，又0，则综合1、2 得分析二：（III）中的，即对恒成立，即运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设，再运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知式恒成立，解之得又所以即的取值范围为。 通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。12. 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，
10、即求出A=-20、B=-8；第二问利用公式，推导得证数列an为等差数列.由于an=1+5(n-1)=5n-4，故第三问即是证明对任何正整数m、n恒成立.对此复杂的恒成立问题，我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：，而基本不等式得到：，因此要证明原不等式恒成立，只要证5(m+n)-829，而此式对任何正整数m、n都能成立。通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。13. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于
11、a的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.14. 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可。（1） 简证：任取且，则 又是奇函数 在上单调递增。（2） 解：对所有，恒成立，即， 即在上恒成立。 。15. 分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。 时， 成立 时，由，可知，16.
12、 分析：的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。略解：，令在上的最小值为。当，即时， 又 不存在。当，即时， 又 当，即时， 又 总上所述，。解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。 略解：，即在上成立。 22综上所述，。解法二：（利用根的分布情况知识）当，即时， 不存在。当，即时，当，即时， 综上所述。此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。解法一：原不等式化为令，则，即在上恒大于0。若，要使，即， 不存在若，若使，即 若，要使，即，由，可知，。解法二：，在上恒成立。由，可知，。 解：（1） 又 定义域（2） 在上单调递增 在上单调递增，要使在上恒正，只须，即且。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
