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1、高三数学数列的通项公式【教学目标】一、 知识目标1、解决形如 通项公式的确定。 2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。 二、能力目标 在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。三、 情感目标通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊，体现“归纳推理”的思想方法。【教学重点】：通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。【教学难点】：1、 如何将转化为我们熟悉的等差和等比数列。2、 理解和掌握此类型的数列通项公
2、式确定的数学思想方法。【知识点梳理】1. 数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式2Sn与an的关系 已知Sn，则an在数列an中，若an最大，则若an最小，则 3、已知求数列通项公式用累加法4、已知求数列通项公式用累乘法5、已知求数列通项公式（1）：可转化为令，则成等比数列；（2）：可转化为，则为等比数列【典型例题】题型一：由数列的前几项写出数列的通项公式例1、根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：解析： 点拨：（1）解决这类问题需要我们从多角度、全方位观察、广泛联系，一般要将原数列变形后化
3、为基本数列或特殊数列，要熟知一些基本数列，如数列等（2）归纳得出的数列的通项公式适合前几项即可，并且通项公式也不一定唯一【变式练习】1.写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，
4、奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031，1041，所以an(10n1)题型二：由递推关系求通项（1）累加法：已知求数列通项公式用累加法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。【变式练习】1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。2. 已知数列中，求数列的通项公式；【解题思路】已知关系式，可利用迭
5、加法或迭代法；【解析】（累加法）， （2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法例2 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】由得，.【变式练习】1.已知数列中: a11，anan1(n2), 确定数列an的通项公式【解析】anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得 ana1.2. 已知数列满足=，求【解析】由已知得，分别令n=1，2，3，.(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即= 所以，又因为也满足该式，所以。【方法与技巧总结】累加法适用于求递推关系形如“”； 累乘法适用于求递推关系形如“；累加法、累乘法公式： .（3）转化法: 1. （A、B为常数）型，可化为=A
6、（）的形式.例3、已知数列中，求的通项公式解析：方法一：转化法故是首项为2，公比为2的等比数列，即方法二：引入新数列法两式相减得故数列是首项为公比为2的等比数列，即 再用累加法得：【变式练习】1. 设数列的首项，=，(n=2、3、4) 求的通项公式解：构造新数列，使之成为的等比数列即= 整理得：=满足=得 = p=-1 即新数列首项为，的等比数列 = 故 =+12. 已知数列中，=2，= 求的通项公式。解：构造新数列，使之成为的等比数列= 整理得：=+使之满足已知条件 =+2解得 是首项为 的等比数列，由此得= =2 .（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例4 在数列中，求通项公式
7、。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.【变式练习】1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。2. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求
8、出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。3.型，可化为的形式例5在数列中，当， , 求通项公式.解：原递推式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.【变式练习】1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式解：（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列（II）解：由（I）得 4、型，可化为的形式例6在数列中，=6 求通项公式.解 原式可化为： 比较系数可得：=-6， 式为是一个等比数列，首项，公比为.即 故.【变式练习】1.在数列中，=2，= ，求数列的通项解：构造新数列，使之成为
9、q=4的等比数列，则= 整理得：=满足=，即得新数列的首项为，q=4的等比数列 5、形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例7数列满足,求数列an的通项公式.分析 1：构造 转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故 解法2：时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列. 评注：结果要还原成n的表达式.【方法与技
10、巧总结】原数列既不等差，也不等比。若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数 （4）取对数法:例7已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。【变式练习】1.若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，
11、所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.（5）开平方法:（换元法）例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。【变式练习】1.若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。（6）倒数法: 形如（都为的一次式，且中无常数项）的递推公式可用倒数变换，将其转化为等差或等比数列例9 数列中，解
12、析：取倒数，得：为首项公差的等差数列【变式练习】1.已知数列满足，且（），求数列的通项公式。解：把原式变形成 两边同除以得即 构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列即整理得： 满足式使 数列是首项为，q= 的等比数列 。题型三：由与的关系求通项例10数列的前项和求其通项公式解析：法一、，由得：法二：由得： 为等比数列点拨：（1）利用与的关系 （2）若和在一个等式中，一般可利用与的关系，消去或，构造关于或的递推公式，再进一步确定或【变式练习】1. 已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ； .【解题思路】已知关系式，可利用，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】当时，当时，.而时，.当时，当时，.而时，.2. 已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式.【解析】当时，当时，.是以为公比的等比数列，其首项为，题型四：求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例11已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例12已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 【变式练习】1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。由
