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1、高一数学任意角的三角函数高一数学任意角的三角函数人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 任意角的三角函数 二 重点 难点 本节重点是任意角三角函数的定义 诱导公式一以及三角函数线 典型例题典型例题 例 1 若角的终边经过点 求的值 0 15 8 aaaP tansec log2 解 解 当时 0 aaaar17 15 8 22 此时 8 17 sec x r 8 15 tan x y 故 4 1 log 8 15 8 17 log tansec log 222 22log 2 2 当时 则0 aaaar17 15 8 22 8 15 tan 8 17 sec 因此 24log
2、 tansec log 22 例 2 已知 求证 2 0 2cossin1 证明 证明 设为角终边上异于原点一点 yxP 则 sin cos 22 yxr r y r x 故 r yx cossin 2 2 2 r xyr 由101 2 1 2 22 2 r xy r xyr 2 2 2 22 2 2 2 2 22 r yx r xyrr r xyr 202 故2cossin1 例 3 利用任意角的三角函数的定义证明 cos sin1 tansec1 tansec1 证明 证明 设是终边上异于原点的任一点 则 yxP rOP x r x y r x r y sec tan cos sin 左边
3、 22 2 1 1 yrx yrx yrx yrx x y x r x y x r 222 222 2 222 yxrrx yrxrxyryx x yr rxx yrxr xrx yrxyxrr 22 2222 2 2 右式 x yr r x r y 1 故 左式 右式 例 4 已知 且 则点 位于第几象限 02sin cos cos 2 cot sec P x y 解 解 由 有 即02sin Zkkk 222 2 kk 又由 即知 cos cos 0cos Zkkk 2 3 2 2 2 如图 有Zkkk 2 3 2 2 2 故是第三象限角 0sec 又Zkkk 4 3 22 故是第二或第四
4、象限角 2 0 2 cot 因此位于第三象限 2 cot sec P 例 5 已知 为锐角 求的取值范围 sinlog coslog cossin a 解 解 由已知 则 coslg sinlg sinlg coslg 即即 22 sinlg coslg sinlg coslg 由 故1sin0 1cos0 则有0sinlg 0coslg sinlgcoslg sincos 又由 故 2 0 4 0 即的取值范围是 4 0 例 6 若 均为锐角 且 试确定的符号 cossinsin2sincos 解 解 由已知 sin cos2 cossin 由 故 2 0 2cos21 1cos0 sinc
5、ossinsin cos2 sin 故取正号 例 7 求下列函数的定义域 1 1tan 1sin2lg xxy 2 328lg sin21 2 xxxy 3 12sin2 logcos xy x 4 xxxy 2 tan3tan3232cos 解 解 1 依题意 x 应满足 1tan 2 1 sin 01tan 01sin2 x x x x 如图 利用三角函数线 x y 6 T 3 4 5 6 A Zkkxk 4 3 2 2 2 2 解 x 应满足 74 2 1 2sin 0328 02sin21 2 x x xx x 74 1212 7 74 6 22 6 7 2 x kxk x kxk y
6、 x 6 7 6 利用数轴不难得出 12 25 12 17 12 13 12 5 12 12 7 12 11 4 x x 19 12 11 12 7 12 1 12 5 12 13 12 17 12 25 12 47 3 2 1 2sin 1cos 0cos x x x 6 5 22 6 2 1cos 0cos Zkkxk x x y x 12 5 12 利用三角函数线 有 Zkkxk 12 5 2 12 2 4 0 3 3 tan3 tan 2 22 2 2 0tan3tan323 02cos 2 xx kxk xx x 3 3 tan3 44 x kxk 因此 Zkkxk 64 例 8 求
7、的值域 2cos3 1cos2 x x y 解 解 由已知 有 23 12 cos y y x 由 故1 cos x1 23 12 y y 22 23 12 23 12 yyyy 0 3 15 03165 2 yyyy 故或 5 1 y3 y 即值域 3 5 1 例 9 已知 证明 2 0 tansin 证明 证明 如图而 OATOAPOAP SSS 扇形 sin 2 1 2 1 MPOAS OAP y x 0 T P MA 2 1 2 1 PAOAS OAP扇形 tan 2 1 2 1 ATOAS OAT 故 tansin 例 10 已知 求证 2 0 tantansinsin 证明 证明
8、设 OAPPOA y x 0 T P A Q P T 由 sin sin 2 1 APOOPAOQAOPAOPQPOP SSSSSS TOTATOOTA SSS tan tan 2 1 且 2 1 POP S扇形 POPTOT SS 扇形 又 POPPOP SS 扇形 故 tantansinsin 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 已知点 M 在角终过的反向延长线上 且 则点 M 坐标是 1 OM A B sin cos sin cos C D sin cos sin cos 2 若为第一象限角 则能定为正值的是 A B C D 2 sin 2 cos 2 tan 2cos 3 已知集合 则
9、20 sincos M sintan N 是 NM A B C D 2 4 3 4 2 3 4 5 4 3 4 满足的角的一个取值范围是 cottan A B C D 4 0 4 0 2 4 2 4 二 填空题 1 若为角终边上的一点 且 则 13 aaP 0 a 5 52 cos a 2 已知中 是第二或第三象限角 则的范围是 a a 4 32 cos a 3 设 则函数的最小值为 0 x x x y sin 2 2 sin 4 设 则的值为 42 cos n an n aaa 21 三 解答题 1 已知函数 sec cos csc sin cot cot tan tan cos cos s
10、in sin x x x x x x x x x x x x y 2 试比较的大小 15 56 tan 15 26 cos 15 34 sin 试题答案试题答案 一 1 D 2 C 3 A 4 C 二 1 或 2 3 4 0 5 2 7 2 2 3 1 2 5 三 1 解 函数的定义域为 且 kx 2 kxZk 当 x 为第一象限角时 5cossin1111 22 xxy 当 x 是第二象限角时 xxxy 222 cos21cossin1111 1 3 y 当 x 是第三象限角时 1cossin1111 22 xxy 当 x 是第四象限角时 xxxy 222 cos23cossin1111 1 3 y 综上 5 1 3 y 2 由 15 4 2 15 26 2 15 4 15 34 15 4 4 15 56 如图 215 4 4 15 4 tan 15 4 sin 15 4 cos y x 0 B A T S P M
