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1、1 请默写 常用函数的幂级数展开式 2 回顾 3 第七节 一 三角级数及三角函数系的正交性 二 函数展开成傅里叶级数 三 正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数 4 傅里叶简介 1768 1830 法国数学家 物理学家 他出身平民家庭 父亲是位裁缝 9岁时父母双亡 他被当地教堂收养 12岁时主教送他到镇上的军校读书 表现出对数学的特殊爱好 之后 他想当炮兵或工程兵 但因家庭地位低贫而遭拒绝 1789年回到家乡奥赛尔的母校教书 傅里叶因热心地方的公益事务而知名 还曾因替当时恐怖行为的受害人申辩而入狱 出狱后 他又去巴黎师范读书 为期甚短 但他的数学才华给人以深刻的印象 1795年 正好成立一个
2、新学校 巴黎综合工科学校 即被任命为拉格朗日 蒙日的助教从事教学工作 这一年还被讽刺性地作为恐怖分子的支持者再次入狱 后经同事营救而 5 释 1798年 蒙日把他推荐给拿破仑远征埃及 任军中文书和埃及研究院秘书 并从事外交活动 但同时他仍不断进行个人的业余研究 即数学物理方面的研究 1801年回国后 傅里叶希望继续在巴黎综合工科学校教书 但因拿破仑赏识他的行政才能 任命他为伊泽尔地区首府格列诺布尔的高级官员 由于政绩卓著 1808年拿破仑又授予他男爵称号 1815傅里叶终于辞去爵位与官职 毅然返回巴黎以图全力投入学术研究 后来 随着政治局势的动荡 也几经沉浮 当傅里叶处于一生中最艰难的时期时
3、得到了昔日同事与学生的关怀 为他谋得统计局主管之职 使他在工作之余有时间继续从事研究 1816年 傅里叶被提名为法国科学院的成员 开始因 6 他曾效力过拿破仑而被路易18所据 后来 事实澄清 于1817年就职科学院 其声誉又随之迅速上升 他的任职得到了拉普拉斯的支持 却不断受到泊松的反对 1822年 终于成为科学院的终身秘书 这是极有权利的职位 傅里叶一生为人正直 他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和帮助 人缘极好 从而得到他们的忠诚爱戴 并成为他们的至交好友 如 奥斯特 狄里克雷 阿贝尔等 傅里叶的主要成就在于他的热传导问题的研究 以及使用的数学方法 他的著作 热的解析理论 182
4、2 是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分 他深信数学是解决实际问题最卓越的工具 7 一 问题的提出 简单的周期运动 谐波函数 A为振幅 复杂的周期运动 令 得函数项级数 为角频率 谐波迭加 称上述形式的级数为三角级数 8 二 三角级数及三角函数系的正交性 1 三角级数的定义 其中都是常数 2 三角函数系的正交性 1 三角函数系的定义 组成三角级数的函数系 2 三角函数系的正交性 正交 上的积分等于0 即其中任两个不同的函数之积在 9 证 同理可证 10 上的积分不等于0 且 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 11 三 函数展
5、开成傅里叶级数 问题 1 若能展开为三角级数 怎样确定 与f x 有何关系 2 展开的条件是什么 收敛时其和函数是f x 吗 收敛吗 12 定理1 设f x 是周期为2 的周期函数 且 若右端级数可逐项积分 则有 1 傅里叶系数及傅里叶级数 13 14 15 16 傅里叶系数 以 的傅里叶系数为系数的三角级数 的傅里叶级数 称为 欧拉公式 17 欧拉公式 问题 条件 18 2 收敛定理 狄利克雷Dirichlet充分条件 定理2 收敛定理 展开定理 设f x 是周期为2 的 周期函数 并满足狄利克雷 Dirichlet 条件 x为f x 的间断点 x为f x 的连续点 注意到 函数展成傅里叶级
6、数的条件比展成幂级数的条件低得多 19 若f x 的图形 则S x 的图形 20 注意 1 请熟记收敛定理的条件与结论 条件 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 在一个周期内只有有限个极值点 f x 的傅里叶级数处处收敛 且有和函数 结论 x为f x 的间断点 x为f x 的连续点 设f x 是周期为2 的周期函数 x为f x 的连续点时 21 2 f x 的傅里叶级数的和函数S x 与f x 的关系 1 S x 与f x 的定义域相同 2 S x 与f x 的周期性相同 周期相等 但函数值不一定相等 x为f x 的连续点时 3 将周期为2 的周期函数f x 展开为傅氏级数的步骤
7、 第一步 判断f x 是否满足收敛定理的条件并 确定f x 的间断点 最好做出的图形 第二步 计算f x 的傅里叶系数 用欧拉公式 第三步 写出f x 的傅氏级数 并注明等式成立的范围 22 例1 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式 解 如图 23 例1 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式 和函数如图 24 例1 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式 25 例1 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式 26 1 根据收敛定理可知 时 级数收敛于 2 傅氏级数的部分和逼近 说明 f x 的情况见右图 27 注意 作法 28 延拓前 延拓后
8、 周期延拓 其它 傅里叶展开 上的傅里叶级数 29 例2 将函数 则 解 将f x 延拓成以 展成傅里叶级数 2 为周期的函数F x F x 满足收敛定理的条件 且在整个实数范围内连续 30 所求函数的傅里叶级数展开式为 31 利用此展式可求出几个特殊的级数的和 当x 0时 f 0 0 得 说明 32 设 已知 又 33 解 92考研 在 处收敛于 34 则 例4 设 提示 03考研 回顾 多次分部积分的公式及规律 特别 当u为n 1次多项式时 计算大为简便 35 欧拉公式 3 收敛定理 周期为2 的函数f x 若满足狄利克雷充分条件 周期为2 的函数f x 内容小结 练习 P3164 预习 P310 P319
