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1、第八讲 三角函数一、知识梳理1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2.周期函数定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.结论：如果函数对于，那么函数的周期T=2k；如果函数对于，那么函数的对称轴是3.图象的平移对函数yAsin（xj）k （A0， 0， j0， k0），其图象的基本变换有： （1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的.A1，伸长；A1，缩短. （2）周期变换（横向伸缩变换）：是由的变化引起的.1，缩短；1，伸长. （3）相位变换（横向平移变换）：是由的变化引起的.j0
2、，左移；j0，右移.（4）上下平移（纵向平移变换）： 是由k的变化引起的.k0， 上移；k0，下移二、方法归纳1.求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域； 化为求的值域； 化为关于（或）的二次函数式；2.三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）3.函数为奇函数；函数为偶函数函数为偶函数；函数为奇函数4.函数的单调增区间可由解出，单调减区间可由解出； 函数的单调增区间可由解出，单调减区间可由解出.5.对称性：（1）函数对称轴可由解出；对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.（ 即整体代换法）（2）函数对称轴可由解出；对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为
3、.（ 即整体代换法）（3）函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.三、课堂例题精讲例1.下列函数中，周期为的是（ ）A. B. C. D.答案：D例2.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A.关于点对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称答案：A.解析：由题意知，所以解析式为，经验证可知它的一个对称中心为. 例3.函数的最小正周期和最大值分别为（ ）A.，B.，C.，D.，答案：A.解析：，T=，ymax=1例4.函数的单调递增区间是（ ）A.B.C.D.答案：D.解析：因为，例5.将的图象按向量a=平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）A. B
4、. C. D. 答案：A.解析：看向量a=的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B、C、D.例6.函数的一个单调增区间是（ ）A. B.C.D.答案：C解析：法一：函数的一个单调递增区间为，又函数是以为周期的函数，函数的单调递增区间为（kZ）.当k=1时，函数的一个单调增区间为.故选C.法二：作出函数的图象，由图易知的一个单调增区间为.故选C.法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A、B两个选择支的端点值相等，而选择支D的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A、B、D，故选C.例7.函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示
5、，则= . 答案： =3例8.已知函数和的图象的对称轴完全相同.若，则的取值范围是 .答案：解析：由题意知，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是.例9.定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 .答案：解析“线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=.故线段P1P2的长为.例10.设函数，其中向量，且的图象经过点.（）求实数的值；（）求函数的最小值及此时值的集合.解析：（），由已知，得.（）由（）得
6、，当时，的最小值为，由，得值的集合为.例11. 已知函数是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值.解析：由是偶函数，得，故，对任意x都成立，且依题设0，由的图象关于点M对称，得取又，得 当时，在上是减函数.当时，在上是减函数.当2时，在上不是单调函数.所以，综合得或.四、课后作业1.函数的一个单调增区间是（ ）A. B. C. D.2.已知函数=Acos（）的图象如图所示，则=（ ） A. B . C. D. 3. 设0，函数f（x）=2sinx在上为增函数，那么的取值范围是 .4.判断方程sinx=实数解的个数.1005.求函数y=2sin的单调区间. 6.已知
7、函数，求它的定义域和值域，并判断奇偶性.7.已知函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值.8.设 ，（1）求的最大值及最小正周期；（2）若锐角满足，求tan的值.9. 求下列函数的值域：（1）y=； （2）y=sinx+cosx+sinxcosx； （3）y=2cos+2cosx.10.已知函数f（x）=sin2x+sinx+a，（1）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围；（2）若xR，有1f（x），求a的取值范围.11.已知函数，.（）求的最大值和最小值；（）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.12.已知f（x）=2asin2x2asinx+a+b的定义域是0，
8、值域是5，1，求a、b的值.参考答案：1.答案：A2.答案：C3.答案： 4.答案：199解析：方程sinx=的实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数，|sinx|1|1， |x|100当x0时，如下图，此时两线共有100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x0时，也有100个交点，原点是重复计数的，所以只有199个交点.5.解析：y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的. 又u=为减函数， 由2k-u2k+（kZ），得-2k-x-2k+ （kZ）.即（kZ）为y=2sin 的递减区间.由2k+u2k+ （kZ）， 得2k+-x2k+ （kZ），解得-
9、2k-x-2k- （kZ），即（kZ）为y=2sin的递增区间.综上可知：y=2sin的递增区间为（kZ）；递减区间为（kZ）.6.解析：由题意知cos2x0，得2xk+， 解得x（kZ）.所以的定义域为.又=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称， 是偶函数.显然-sin2x-1，0，但x，kZ. -sin2x-.所以原函数的值域为.7.解析：（）.因此，函数的最小正周期为.（）解法一：因在区间上增，在区间上减，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为.解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：yxO由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为.8.解析：（）.故的最大值为；最
10、小正周期.（）由得，故.又由得，故，解得.从而.9.解析：（1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4，但cosx1， y4，且ymin=-，当且仅当cosx=-时取得. 故函数值域为.（2）令t=sinx+cosx，则有t2=1+2sinxcosx，即sinxcosx=.有y=f（t）=t+=.又t=sinx+cosx=sin， -t.故y=f（t）= （-t）， 从而知：f（-1）yf（），即-1y+. 即函数的值域为.（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1，该函数值域为-2，2.10.解析：（1）f（x）=0，即a=sin2xsinx=（sinx）2当sinx=时，amin=，当sinx=1时，amax=2，a，2为所求.（2）由1f（x）得 u1=sin2xsinx+44u2=sin2xsinx+1=3 3a4.11.解析：（）. 又，即.（），且，即的取值范围是. 12.解析：令sinx=t，x0，t0，1，而f（x）=g（t）=2at22at+a+b=2a（t）2+b.当a0时，则 解之得a=6，b=5.当a0时，则 解之得a=6，b=1.
